《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

2.(2025厦门一中月考)如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程$x^{2}+x= 0$的两个根是0,-1,则这个方程是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程$x^{2}-5x+6= 0$是不是“邻根方程”；
(2)若关于x的方程$x^{2}-(m-1)x-m= 0$是“邻根方程”,求m的值；
(3)若关于x的方程$ax^{2}+bx+1= 0(a≠0)$是“邻根方程”,令$t= 12a-b^{2}$,求t的最大值.

答案：
(1)是“邻根方程”，计算过程略
(2)0或-2
(3)16

3.阅读材料,解答问题:
已知实数m,n满足$m^{2}-m-1= 0,n^{2}-n-1= 0$,且$m≠n$,则m,n是方程$x^{2}-x-1= 0$的两个不等的实数根,由根与系数的关系可知$m+n= 1,mn= -1$.
根据上述材料,解决以下问题:
【直接应用】(1)已知实数a,b满足$a^{2}-5a+3= 0,b^{2}-5b+3= 0且a≠b$,则$a+b= $____,$ab= $____;
【间接应用】(2)已知实数m,n满足$3m^{2}-7m+1= 0,n^{2}-7n+3= 0且mn≠1$,求$\frac {2mn+2}{mn+3n+1}$的值;
【拓展应用】(3)已知实数p,q满足$p^{2}-2p= 3-t,\frac {1}{2}q^{2}-q= \frac {1}{2}(3-t)且p≠q$,求$(q^{2}+1)\cdot (2p+4-t)$的取值范围.

答案：
(1)5 3
(2)$\frac {7}{8}$
(3)$(q^{2}+1)(2p+4-t)＞4$