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例 1(长沙中考)如图,$AB = AC$,$CD\perp AB$,$BE\perp AC$,垂足分别为 $D$,$E$。
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle ACD$；
(2)若 $AE = 6$,$CD = 8$,则 $BD$ 的长为______。
点拨 利用 $AAS$ 证明 $\triangle ABE\cong\triangle ACD$；利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解。
(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE和△ACD中,{∠AEB=∠ADC,∠BAE=∠CAD,AB=AC,}
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)4
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle ACD$；
(2)若 $AE = 6$,$CD = 8$,则 $BD$ 的长为______。
点拨 利用 $AAS$ 证明 $\triangle ABE\cong\triangle ACD$；利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解。
(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE和△ACD中,{∠AEB=∠ADC,∠BAE=∠CAD,AB=AC,}
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)4
答案：
(1)
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE和△ACD中,{∠AEB=∠ADC,∠BAE=∠CAD,AB=AC,}
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)4 解析:
∵△ABE≌△ACD,
∴AD=AE=6.在Rt△ACD中,AC=√(AD²+CD²)=√(6²+8²)=10.
∵AB=AC=10,
∴BD=AB - AD=10 - 6=4.
(1)
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE和△ACD中,{∠AEB=∠ADC,∠BAE=∠CAD,AB=AC,}
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)4 解析:
∵△ABE≌△ACD,
∴AD=AE=6.在Rt△ACD中,AC=√(AD²+CD²)=√(6²+8²)=10.
∵AB=AC=10,
∴BD=AB - AD=10 - 6=4.
变式 1(聊城中考)如图,在四边形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是边 $BC$ 上一点,且 $BE = CD$,$\angle B= \angle AED= \angle C$。
(1)求证：$\angle EAD= \angle EDA$；
(2)若 $\angle C = 60^{\circ}$,$DE = 4$,求 $\triangle AED$ 的面积。
(1)求证：$\angle EAD= \angle EDA$；
(2)若 $\angle C = 60^{\circ}$,$DE = 4$,求 $\triangle AED$ 的面积。
答案：
(1)
∵∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,
∴∠BAE=∠CED.在△ABE和△ECD中,{∠BAE=∠CED,∠B=∠C,BE=CD,}
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
(2)
∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
∴△AED为等边三角形,
∴AE=AD=ED=4.如图,过点A作AF⊥ED于点F,
∴EF=1/2ED=2,
∴AF=√(AE² - EF²)=√(4² - 2²)=2√3,
∴S△AED=1/2ED·AF=1/2×4×2√3=4√3.
(1)
∵∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,
∴∠BAE=∠CED.在△ABE和△ECD中,{∠BAE=∠CED,∠B=∠C,BE=CD,}
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
(2)
∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
∴△AED为等边三角形,
∴AE=AD=ED=4.如图,过点A作AF⊥ED于点F,
∴EF=1/2ED=2,
∴AF=√(AE² - EF²)=√(4² - 2²)=2√3,
∴S△AED=1/2ED·AF=1/2×4×2√3=4√3.
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