《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 3】
如图所示，在探究洛伦兹力方向实验中，阴极射线管电子枪发出的电子束打在荧光屏正中央形成一个亮斑。通过施加不同匀强磁场改变荧光屏上亮斑的位置，可以判断电子受洛伦兹力的方向。从荧光屏正前方观察，下列磁场方向和对应亮斑的位置正确的是（C）

答案： C [若分别施加$Y^{\prime}Y$方向、$YY^{\prime}$方向磁场，电子分别受到$X^{\prime}X$方向、$XX^{\prime}$方向的洛伦兹力；若分别施加$X^{\prime}X$方向、$XX^{\prime}$方向磁场，电子分别受到$YY^{\prime}$方向、$Y^{\prime}Y$方向的洛伦兹力，故选C。]

四、带电体在洛伦兹力作用下的运动
【例 4】
如图所示，斜面上表面光滑绝缘，倾角为 $ \theta $，斜面上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 $ B $。现有一个质量为 $ m $、带电荷量为 $ +q $ 的小球在斜面上被无初速度释放，假设斜面足够长，重力加速度为 $ g $，求小球从释放开始，下滑多远后离开斜面。

答案：
$\frac{m^{2}g\cos^{2}\theta}{2q^{2}B^{2}\sin\theta}$
解析 小球沿斜面下滑，在离开斜面前，受到垂直斜面向上的洛伦兹力$F$，小球受力分析如图所示。
沿斜面方向，有$mg\sin\theta = ma$，
垂直斜面方向，
有$F + F_{\mathrm{N}} - mg\cos\theta = 0$，
其中洛伦兹力$F = qvB$，
设下滑距离$x$时小球离开斜面，此时斜面对小球的支持力$F_{\mathrm{N}} = 0$，
由$v^{2} = 2ax$得下滑的距离$x = \frac{v^{2}}{2a}$，
联立以上各式解得$x = \frac{m^{2}g\cos^{2}\theta}{2q^{2}B^{2}\sin\theta}$。

【例 5】
如图所示，在磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场中，有一长为 $ l $ 的绝缘细线，一端固定于 $ O $ 点，另一端连一质量为 $ m $、带电荷量为 $ +q $ 的小球，将小球与细线拉至右侧与磁感线垂直的水平位置，由静止释放，重力加速度为 $ g $，则小球第一次通过最低位置时细线上的拉力大小为（B）

A.$ 3mg + Bq\sqrt{gl} $
B.$ 3mg + Bq\sqrt{2gl} $
C.$ 3mg - Bq\sqrt{gl} $
D.$ 3mg - Bq\sqrt{2gl} $

答案： B [设小球第一次通过最低位置时速度大小为$v$，小球从右向左通过最低位置，由左手定则可知，在最低位置时小球所受洛伦兹力$F$方向竖直向下，在最低位置，小球受到重力$mg$、洛伦兹力$F$和细线的拉力$F_{\mathrm{T}}$，根据牛顿第二定律有$F_{\mathrm{T}} - F - mg = m\frac{v^{2}}{l}$。小球从释放点运动至最低位置过程中，细线的拉力、洛伦兹力均不做功，根据动能定理有$mgl = \frac{1}{2}mv^{2}$，又洛伦兹力$F = qvB$，
解得$F_{\mathrm{T}} = 3mg + \mathrm{B}q\sqrt{2gl}$，选项B正确。]

拓展 1
例 5 中，若细线始终处于张紧状态，小球第二次通过最低位置时细线上的拉力大小为$3mg - \mathrm{B}q\sqrt{2gl}$。

答案： $3mg - \mathrm{B}q\sqrt{2gl}$
解析 小球第一次通过最低位置后继续向左运动，由于细线的拉力、洛伦兹力均不做功，因此小球运动到左侧最高点时，细线水平且与磁感线垂直，之后小球向右摆动，第二次通过最低位置时速度大小仍为$v$，方向向右，由左手定则可知此时小球所受洛伦兹力$F^{\prime}$方向向上，在最低位置，小球受到重力$mg$、洛伦兹力$F^{\prime}$和细线的拉力$F_{\mathrm{T}}^{\prime}$，根据牛顿第二定律有$F_{\mathrm{T}}^{\prime} + F^{\prime} - mg = m\frac{v^{2}}{l}$，又$F^{\prime} = qvB$，解得$F_{\mathrm{T}}^{\prime} = 3mg - \mathrm{B}q\sqrt{2gl}$。

拓展 2
（多选）例 5 中，小球先后两次通过最低位置时，相同的物理量有（BC）
A.小球受到的洛伦兹力
B.小球的加速度
C.小球的动能
D.小球的动量

答案： BC [小球先后两次通过最低位置时速度大小相等但方向相反，动能相等，动量大小相等但方向相反。由左手定则及$F_{洛} = qvB$可知小球先后两次受到的洛伦兹力大小相等、方向相反。小球的加速度为做圆周运动的向心加速度，由$a_{\mathrm{n}} = \frac{v^{2}}{l}$可知先后两次小球的向心加速度度相同，选项B、C正确，A、D错误。]