《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

如图所示，$ MN $、$ PQ $ 为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻 $ R $，金属棒 $ ab $ 斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，$ ab = L $。磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨间夹角为 $ 60° $，以速度 $ v $ 水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒的电流为（B）

A.$ \frac{BLv}{R} $
B.$ \frac{\sqrt{3}BLv}{2R} $
C.$ \frac{BLv}{2R} $
D.$ \frac{\sqrt{3}BLv}{3R} $

答案： B [金属棒切割磁感线的有效长度为$ L·sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}L，$故感应电动势$ E = Bv·\frac{\sqrt{3}L}{2}，$通过金属棒的电流$ I=\frac{E}{R}=\frac{\sqrt{3}BLv}{2R}，$B 正确。]

三、导体棒转动切割时的感应电动势
如图所示，长为 $ l $ 的金属棒 $ ab $，绕 $ b $ 端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度 $ \omega $ 匀速转动，磁感应强度大小为 $ B $。

（1）试推导 $ ab $ 棒所产生的感应电动势大小；
（2）试判断 $ a $、$ b $ 两点电势的高低。
(1)
设经过极短时间$\Delta t$，金属棒转过的角度为$\Delta\theta = \omega\Delta t$，
取棒上一小段长度为$\Delta x$（离$b$端距离为$x$），该段产生的感应电动势$\Delta E = B\frac{x\omega\Delta t}{\Delta t}\Delta x = B\omega x\Delta x$，
对整个棒由积分法可得：$E=\int_{0}^{l}B\omega xdx=\frac{1}{2}B\omega l^{2}$。
或：经过时间$t$，棒扫过的面积$\Delta S = \frac{1}{2}l·(\omega t· l)=\frac{1}{2}\omega l^{2}t$，
根据法拉第电磁感应定律$E = B\frac{\Delta S}{\Delta t}$，$\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}\omega l^{2}t}{\Delta t}=\frac{1}{2}\omega l^{2}$，所以$E=\frac{1}{2}B\omega l^{2}$。
(2)
由右手定则可知，$a$点电势高。

答案：
(1)
设经过极短时间$\Delta t$，金属棒转过的角度为$\Delta\theta = \omega\Delta t$，
取棒上一小段长度为$\Delta x$（离$b$端距离为$x$），该段产生的感应电动势$\Delta E = B\frac{x\omega\Delta t}{\Delta t}\Delta x = B\omega x\Delta x$，
对整个棒由积分法可得：$E=\int_{0}^{l}B\omega xdx=\frac{1}{2}B\omega l^{2}$。
或：经过时间$t$，棒扫过的面积$\Delta S = \frac{1}{2}l·(\omega t· l)=\frac{1}{2}\omega l^{2}t$，
根据法拉第电磁感应定律$E = B\frac{\Delta S}{\Delta t}$，$\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}\omega l^{2}t}{\Delta t}=\frac{1}{2}\omega l^{2}$，所以$E=\frac{1}{2}B\omega l^{2}$。
(2)
由右手定则可知，$a$点电势高。

【例4】
如图所示，导体棒 $ AB $ 的长为 $ 2R $，绕 $ O $ 点以角速度 $ \omega $ 沿逆时针方向匀速转动，$ OB $ 长为 $ R $，且 $ O $、$ B $、$ A $ 三点在一条直线上，有一磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直（未画出），那么 $ AB $ 两端的电势差大小为（C）

A.$ 2B\omega R^2 $
B.$ 3B\omega R^2 $
C.$ 4B\omega R^2 $
D.$ 5B\omega R^2 $

答案： C [AB 两端的电势差大小等于导体棒 AB 中感应电动势的大小，为$ E = B×2R\overline{v}=B×2R×\frac{\omega R+\omega×3R}{2}=4B\omega R^2，$故选 C。]

【例5】
（2024·湖州市高二期末）图甲是法拉第在一次会议上展示的圆盘发电机，图乙是这个圆盘发电机的示意图。铜盘安装在水平的铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片 $ C $、$ D $ 分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为 $ L $，匀强磁场的磁感应强度为 $ B $，从左往右看，铜盘以角速度 $ \omega $ 沿顺时针方向匀速转动，则（C）

A.通过电阻 $ R $ 的电流方向向下
B.回路中有周期性变化的感应电流
C.圆盘转动产生的感应电动势大小 $ E = \frac{1}{2}B\omega L^2 $
D.由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流

答案： C [根据右手定则可知，通过电阻 R 的电流方向向上，选项 A 错误；圆盘转动时相当一个半径切割磁感线，产生恒定的感应电动势，则回路中有恒定不变的感应电流，选项 B、D 错误；圆盘转动产生的感应电动势大小$ E = BL\frac{0+\omega L}{2}=\frac{1}{2}B\omega L^2，$选项 C 正确。]