《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

一、单边直线边界
粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d 为粒子进出磁场的位置相距的距离。

答案： 1. 对于图（a）：
解：根据几何关系，粒子运动轨迹是半圆，$d = 2R$。
2. 对于图（b）：
解：由几何关系可知，$d = 2R\sin\theta$。
3. 对于图（c）：
解：根据几何关系，$d = 2R\sin\theta$。
故答案依次为：$2R$；$2R\sin\theta$；$2R\sin\theta$。

【例 1】（多选）如图，比荷相同的正、负电子垂直磁场方向沿与边界成θ = 45°角的方向射入只有下边界的匀强磁场中，不计重力，已知正、负电子在磁场中运动的时间分别为 t₁、t₂，它们从磁场中射出点相距入射点距离分别为 s₁、s₂，则下列说法正确的是（ ）


A.t₁ : t₂ = 3 : 1
B.t₁ : t₂ = 1 : 3
C.s₁ : s₂ = 1 : 1
D.s₁ : s₂ = 1 : 3

答案：
BC　[设正电子轨迹的圆心角为α，负电子轨迹的圆心角为β，两个电子的轨迹如图所示，由几何知识可知α = 2θ = 90°，β = 360° - 2θ = 270°，
因比荷相同，在同一磁场中做匀速圆周运动的周期T = $\frac{2\pi m}{qB}$相同，则两电子的运动时间分别为
t₁ = $\frac{\alpha}{360°}$T，t₂ = $\frac{\beta}{360°}$T，
则时间之比为$\frac{t₁}{t₂}$ = $\frac{\alpha}{\beta}$ = $\frac{1}{3}$，故A错误，B正确；
正、负电子做匀速圆周运动的半径相同，为r = $\frac{mv}{qB}$，它们从磁场中射出点相距入射点的距离即为弦长，由几何关系可知s₁ = s₂ = 2r sinθ = $\sqrt{2}$r，即s₁ : s₂ = 1 : 1，故C正确，D错误。]

二、平行边界
如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。

1. 甲：
根据几何关系，$d = R\sin\theta$。
2. 乙：
由几何关系可得$R_{1}^{2}=(R_{1}-L)^{2}+d^{2}$；
对于$d$，根据几何关系$d = R_{2}$。
3. 丙：
根据几何关系$d = 2R\sin\theta$。
4. 丁：
由几何关系$R^{2}=(R - d)^{2}+x^{2}$；
由$R^{2}=(R - d)^{2}+x^{2}$展开$R^{2}=R^{2}-2Rd + d^{2}+x^{2}$，可得$R=\frac{d^{2}+x^{2}}{2d}$。
故答案依次为：$R\sin\theta$；$(R_{1}-L)^{2}+d^{2}$，$R_{2}$；$2R\sin\theta$；$(R - d)^{2}+x^{2}$，$\frac{d^{2}+x^{2}}{2d}$。

答案： 1. 甲：
根据几何关系，$d = R\sin\theta$。
2. 乙：
由几何关系可得$R_{1}^{2}=(R_{1}-L)^{2}+d^{2}$；
对于$d$，根据几何关系$d = R_{2}$。
3. 丙：
根据几何关系$d = 2R\sin\theta$。
4. 丁：
由几何关系$R^{2}=(R - d)^{2}+x^{2}$；
由$R^{2}=(R - d)^{2}+x^{2}$展开$R^{2}=R^{2}-2Rd + d^{2}+x^{2}$，可得$R=\frac{d^{2}+x^{2}}{2d}$。
故答案依次为：$R\sin\theta$；$(R_{1}-L)^{2}+d^{2}$，$R_{2}$；$2R\sin\theta$；$(R - d)^{2}+x^{2}$，$\frac{d^{2}+x^{2}}{2d}$。

【例 2】如图，在 0 ≤ x ≤ L 区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一带电荷量为 + q、质量为 m 的粒子从 y 轴上 P 点，以速率 v 沿 x 轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并经过 x 轴上的 Q(2L, 0)点，此时速度方向与 x 轴正方向的夹角为 45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。

答案：
粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为L，磁场磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{2}mv}{2qL}$。解析　粒子运动轨迹如图所示。
设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有
y = (2L - L)tan45° = L，
r = $\frac{L}{\sin45°}$ = $\sqrt{2}$L，
根据洛伦兹力提供向心力有
qvB = m$\frac{v²}{r}$，
解得磁场磁感应强度的大小为
B = $\frac{\sqrt{2}mv}{2qL}$。