《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

如图甲所示，两根足够长的直金属导轨 $ MN $、$ PQ $ 平行放置在倾角为 $ \theta $ 的绝缘斜面上，两导轨间距为 $ L $，$ M $、$ P $ 两点间接有阻值为 $ R $ 的定值电阻，一根质量为 $ m $、电阻为 $ r $ 的均匀直金属杆 $ ab $ 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，导轨电阻可忽略，让 $ ab $ 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆始终垂直且接触良好，不计它们之间的摩擦，重力加速度为 $ g $。

(1) 由 $ b $ 向 $ a $ 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 $ ab $ 杆下滑过程中的受力示意图；
(2) 在加速下滑过程中，当 $ ab $ 杆的速度大小为 $ v $ 时，求此时 $ ab $ 杆中的电流大小及其加速度的大小；
(3) 求在下滑过程中，$ ab $ 杆可以达到的速度最大值。

答案：
解析　
(1)如图所示，$ab$杆受重力$mg$，方向竖直向下；支持力$F_{N}$，方向垂直于导轨平面向上；电流方向由$a \to b$，安培力$F_{安}$，方向沿导轨向上。
(2)当$ab$杆的速度大小为$v$时，感应电动势$E = BLv$，
则此时电路中的电流$I = \frac{E}{R + r} = \frac{BLv}{R + r}$，
$ab$杆受到的安培力$F_{安} = BIL = \frac{B^{2}L^{2}v}{R + r}$，
根据牛顿第二定律，有$mg\sin\theta - F_{安} = ma$，
联立各式解得$a = g\sin\theta - \frac{B^{2}L^{2}v}{m(R + r)}$。
(3)当$a = 0$时，$ab$杆达到最大速度$v_{m}$，即有$mg\sin\theta = \frac{B^{2}L^{2}v_{m}}{R + r}$，
解得$v_{m} = \frac{mg(R + r)\sin\theta}{B^{2}L^{2}}$。

【例 2】
（多选）如图所示，$ MN $ 和 $ PQ $ 是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。$ ab $ 是一根始终与导轨垂直且接触良好的金属杆。开始时，将开关 $ S $ 断开，让杆 $ ab $ 由静止开始自由下落，不计空气阻力，一段时间后，再将 $ S $ 闭合，若从 $ S $ 闭合开始计时，则金属杆 $ ab $ 的速度 $ v $ 随时间 $ t $ 变化的图像可能是（ACD）


[设$ab$杆的有效长度为$l$，$S$闭合时，金属杆受重力$mg$、安培力$F_{安} = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$，若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} ＞ mg$，加速度大小$a = \frac{B^{2}l^{2}v}{mR} - g$，杆先做加速度减小的减速运动再匀速，D项有可能；若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} = mg$，杆匀速运动，A项有可能；若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} ＜ mg$，加速度大小$a = g - \frac{B^{2}l^{2}v}{mR}$，杆先做加速度减小的加速运动再匀速，C项有可能；由于$v$变化，由$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} - mg = ma$知加速度$a$不恒定，故B项不可能。]

答案： ACD　[设$ab$杆的有效长度为$l$，$S$闭合时，金属杆受重力$mg$、安培力$F_{安} = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$，若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} ＞ mg$，加速度大小$a = \frac{B^{2}l^{2}v}{mR} - g$，杆先做加速度减小的减速运动再匀速，D项有可能；若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} = mg$，杆匀速运动，A项有可能；若$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} ＜ mg$，加速度大小$a = g - \frac{B^{2}l^{2}v}{mR}$，杆先做加速度减小的加速运动再匀速，C项有可能；由于$v$变化，由$\frac{B^{2}l^{2}v}{R} - mg = ma$知加速度$a$不恒定，故B项不可能。]

【例 3】
（2024·杭州四校高二期末联考）如图所示，两根相距为 $ L = 0.5 \, m $ 的金属导轨平行固定放置，左半部分倾斜且粗糙，倾角 $ \theta = 37° $，处在磁感应强度为 $ B = 0.5 \, T $ 的竖直向上的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，处在磁感应强度为 $ B = 0.5 \, T $ 的竖直向下的匀强磁场中，导轨的电阻均不计。在导轨上水平放置金属杆 $ ab $、$ cd $，两杆的质量均为 $ m = 0.01 \, kg $，长度恰好与导轨间距相同。其中，$ ab $ 棒电阻为 $ r = 0.5 \, \Omega $，$ cd $ 棒和 $ R $ 的电阻均为 $ 1 \, \Omega $，$ cd $ 杆与导轨间的动摩擦因数为 $ \mu = 0.8 $。现使 $ ab $ 杆由静止开始向右做加速度为 $ a = 2 \, m/s^2 $ 的匀加速运动，重力加速度 $ g = 10 \, m/s^2 $，$ \sin 37° = 0.6 $。

(1) 当 $ cd $ 杆所受静摩擦力为 $ 0 $ 时，求流过 $ cd $ 杆电流的大小和方向；
(2) 求从 $ ab $ 杆开始运动，经过多少时间 $ cd $ 杆所受静摩擦力变为 $ 0 $；
(3) 从 $ ab $ 杆开始运动到 $ cd $ 杆所受静摩擦力变为 $ 0 $ 的过程中，求通过 $ ab $ 杆的电荷量。
(1)$0.3\ A$ 方向$c \to d$ (2)$1.2\ s$ (3)$0.36\ C$

答案：
(1)$0.3\ A$ 方向$c \to d$
(2)$1.2\ s$
(3)$0.36\ C$
解析　
(1)$ab$向右切割磁感线产生电动势，根据右手定则可知，流过$cd$杆的电流方向由$c \to d$；当$cd$杆不受摩擦力作用时，根据平衡条件有$B I_{1} L\cos 37^{\circ} = mg\sin 37^{\circ}$，解得电流大小为$I_{1} = 0.3\ A$。
(2)电路总电阻为$R_{总} = r + \frac{R}{2} = 1\ \Omega$，电动势为$E = 2I_{1}R_{总} = 0.6\ V$，
又$E = BLv$，可得$v = 2.4\ m/s$，$ab$杆做匀加速直线运动，则有$v = at$，解得$t = 1.2\ s$。
(3)根据运动学公式可得$x = \frac{1}{2}at^{2} = 1.44\ m$，通过$ab$的电荷量为$q = \overline{I}t$，$\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R_{总}} = \frac{BL\overline{v}}{R_{总}}$，
联立可得$q = \frac{BLx}{R_{总}} = 0.36\ C$。