《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 1
如图所示，在 $xOy$ 平面的第Ⅱ象限内有半径为 $R$ 的圆分别与 $x$ 轴、$y$ 轴相切于 $P$、$Q$ 两点，圆内存在垂直于 $xOy$ 平面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内存在沿 $y$ 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为 $E$。一带正电的粒子（不计重力）以速率 $v_0$ 从 $P$ 点射入磁场后恰好垂直 $y$ 轴进入电场，最后从 $M(3R,0)$ 点射出电场，出射方向与 $x$ 轴正方向夹角为 $\alpha$，且满足 $\alpha = 45^{\circ}$。下列判断正确的是（ ）

A.粒子将从 $Q$ 点射入第Ⅰ象限
B.粒子在磁场中运动的轨道半径为 $2R$
C.粒子的比荷 $\frac{q}{m} = \frac{v_0^2}{3RE}$
D.磁场磁感应强度 $B$ 的大小 $B = \frac{2E}{v_0}$

答案：
C　[粒子经过M点，根据类平抛运动规律，有$v_y = v_0 \tan \alpha$，$qE = ma$，$v_y = at_3$，$3R = v_0 t_3$，解得$\frac{q}{m} = \frac{v_0^2}{3RE}$，$y = \frac{v_y^2}{2a} = 1.5R$，故A错误，C正确；粒子运动轨迹如图所示，设$O_1$为磁场的圆心，$O_2$为粒子轨迹圆心，$P'$为粒子射出磁场的位置，根据几何知识有$P'O_2 // PO_1$，$\triangle O_1O_2P \cong \triangle O_2O_1P'$，则粒子的轨道半径为$r = R$，由牛顿第二定律可得$Bqv_0 = m \frac{v_0^2}{r}$，解得$B = \frac{3E}{v_0}$，故B、D错误。]

现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。空间中存在三个有电场或磁场的区域，区域Ⅰ是半径为 $\frac{R}{2}$ 的圆形区域，区域Ⅰ中存在磁感应强度大小为 $B_1 = B$ 的垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在 $0 \leq x \leq x_1$ 区间内存在平行 $y$ 轴的匀强电场，$x_1 = R$，电场强度大小 $E = \frac{qRB^2}{4m}$，电场强度方向沿着 $y$ 轴负方向，坐标为 $(R,0)$ 的 $P$ 点是边界上一点。一群质量为 $m$，电荷量为 $+q$ 的带电粒子沿着 $+y$ 方向射入区域Ⅰ，其坐标 $x$ 范围为 $(-0.9R,-0.1R)$，要求这批粒子从同一点离开区域Ⅰ。（不计粒子重力，$\sin 53^{\circ} = 0.8$）求：

（1）求粒子初速度 $v_0$；
（2）这批粒子离开区域Ⅰ的速度方向与 $x$ 轴的夹角范围；
（3）某粒子能到达 $P$ 点，求该粒子最初入射的 $x$ 坐标。
（1）$\frac{BqR}{2m}$
（2）粒子的角度范围在与x轴夹角$53°$范围内
（3）$(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)\frac{R}{2}$

答案：
(1)$\frac{BqR}{2m}$　
(2)粒子的角度范围在与x轴夹角$53°$范围内　
(3)$(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)\frac{R}{2}$
解析　
(1)由磁聚焦原理，沿着y轴正向入射的粒子将会聚于区域I与y轴的交点，且磁场圆与轨迹圆半径相同，则$r = \frac{R}{2}$，由牛顿第二定律有$Bqv_0 = m \frac{v_0^2}{r}$，解得$v_0 = \frac{BqR}{2m}$。
(2)$x = -0.1R$时，由几何关系可得$\sin \theta = \frac{0.5R - 0.1R}{0.5R} = 0.8$，所以$\theta = 53°$，$x = -0.9R$时，由几何关系可得$\sin \theta' = \frac{0.9R - 0.5R}{0.5R} = 0.8$，所以$\theta' = \theta = 53°$，则粒子的角度范围在与x轴夹角$53°$范围内。
(3)区域II中带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，类斜抛运动，假设入射粒子与x轴正方向夹角为$\alpha$，由运动的分解可得，x方向有$v_0 \cos \alpha · t = R$，y方向有$\frac{Eq}{m} · t = 2v_0 \sin \alpha$，解得$\alpha = 45°$，由几何关系可知x坐标为$x = (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)\frac{R}{2}$。