《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 3】（2024·杭州市高二期末）在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿 - x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿 + y 方向飞出。

(1) 请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 $\dfrac{q}{m}$；
(2) 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B'，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°，求磁感应强度 B' 的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间 t。

答案：

(1)负电荷，$\frac{v}{Br}$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}B$，$\frac{\sqrt{3}\pi r}{3v}$。解析　
(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R = r，又qvB = m$\frac{v²}{R}$，则粒子的比荷$\frac{q}{m}$ = $\frac{v}{Br}$。
(2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径R' = $\frac{r}{\tan30°}$ = $\sqrt{3}$r，又R' = $\frac{mv}{qB'}$，所以B' = $\frac{\sqrt{3}}{3}B$，此次粒子在磁场中运动所用时间t = $\frac{1}{6}$T = $\frac{1}{6}$ × $\frac{2\pi R'}{v}$ = $\frac{\sqrt{3}\pi r}{3v}$。

【例 4】（2024·温州市高二期末）如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是圆的一条直径。一带正电的粒子从 a 点射入磁场，速度大小为 v，方向与 ab 成 30°角时恰好从 b 点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为 t。若仅将速度大小改为 0.5v，则粒子在磁场中运动的时间为（不计带电粒子所受重力）（ ）


A.$\dfrac{1}{2}t$
B.t
C.2t
D.3t

答案：
C　[设圆形区域的半径为R，如图所示，当粒子从b点飞出磁场时，根据几何关系可知粒子转过的圆心角为60°，且粒子运动半径为r₁ = 2R，根据牛顿第二定律有qvB = m$\frac{v²}{r₁}$，解得r₁ = $\frac{mv}{Bq}$，若仅将速度大小改为0.5v，则粒子运动半径变为r₂ = $\frac{0.5mv}{Bq}$ = 0.5r₁ = R，如图所示，根据几何关系可知粒子转过的圆心角为120°。同一种粒子在磁场中运动时间正比于转过的圆心角，所以粒子速度大小改变后在磁场中运动的时间为t' = $\frac{120°}{60°}$t = 2t，故选C。]