《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 3】(多选)(2024·宁波市高二期中)如图所示，位于 $ A $ 点的离子源在纸面内沿垂直 $ OQ $ 的方向向上射出一束负离子，重力和离子间相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在 $ OP $ 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知 $ O $、$ A $ 两点间的距离为 $ s $，负离子的比荷为 $ \frac{q}{m} $，速率为 $ v $，$ OP $ 与 $ OQ $ 间的夹角为 $ 30^{\circ} $，则所加匀强磁场的磁感应强度 $ B $ 应满足（ ）


A.若磁场方向垂直纸面向里，$ B ＞ \frac{mv}{3qs} $
B.若磁场方向垂直纸面向里，$ B ＞ \frac{mv}{qs} $
C.若磁场方向垂直纸面向外，$ B ＞ \frac{3mv}{qs} $
D.若磁场方向垂直纸面向外，$ B ＞ \frac{mv}{qs} $

答案：
BC　[当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在$OP$之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与$OP$相切，如图(大圆弧)，由几何关系可知$R_2 = OB\sin30° = \frac{1}{2}OB$，而$OB = s + R_2$，故$R_2 = s$，所以当离子运动轨迹的半径小于$s$时满足约束条件；由牛顿第二定律可得$qvB = m\frac{v^2}{R_2}$，所以应满足$B ＞ \frac{mv}{qs}$，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在$OP$之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与$OP$相切，如图(小圆弧)，由几何关系可知$R_1 = \frac{s}{3}$，所以当离子运动轨迹的半径小于$\frac{s}{3}$时满足约束条件；由牛顿第二定律得$qvB = m\frac{v^2}{R_1}$，所以应满足$B ＞ \frac{3mv}{qs}$，选项C正确，D错误。]

【例 4】如图所示，边长为 $ l $ 的等边三角形 $ ACD $ 内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为 $ B $。顶点 $ A $ 处有一粒子源，能沿 $ \angle CAD $ 的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为 $ m $，电荷量均为 $ +q $，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过 $ D $ 点（ ）


A.$ \frac{qBl}{4m} $
B.$ \frac{qBl}{2m} $
C.$ \frac{3qBl}{4m} $
D.$ \frac{qBl}{m} $

答案：
C　[粒子带正电，且经过$D$点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为$60°$，当粒子运动的半径为$r = \frac{l}{n}(n = 1,2,3·s)$时；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动且过$D$点，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有$qvB = m\frac{v^2}{r}$，解得$v = \frac{Bqr}{m} = \frac{Bql}{mn}(n = 1,2,3·s)$，故选C。]