《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 3】
回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个$D$形金属盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过窄缝时都能被加速，加速电压大小始终为$U$，两盒放在磁感应强度为$B$的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为$q$，质量为$m$，粒子最大回旋半径为$R_{max}$，加速过程不考虑相对论效应和重力的影响。求：
(1) 所加交流电源频率；
(2) 粒子离开加速器时的最大动能；
(3) 粒子被加速次数；
(4) 若带电粒子在电场中加速的加速度大小恒为$a$，粒子在电场中加速的总时间。
拓展
某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图所示的轨迹图，他认为两个$D$形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距$\Delta d$是相等的。请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势？

(1)$\frac{qB}{2\pi m}$
(2)$\frac{q^{2}B^{2}R_{\max}^{2}}{2m}$
(3)$\frac{qB^{2}R_{\max}^{2}}{2mU}$
(4)$\frac{qBR_{\max}}{ma}$
拓展该同学画的轨迹不合理。正确的画法是：轨迹间距不相等，轨迹半径越大，$\Delta d$越小，轨迹越密。

答案：
(1)$\frac{qB}{2\pi m}$
(2)$\frac{q^{2}B^{2}R_{\max}^{2}}{2m}$
(3)$\frac{qB^{2}R_{\max}^{2}}{2mU}$
(4)$\frac{qBR_{\max}}{ma}$ 解析
(1)粒子在电场中运动时间极短，因此所加交流电源频率要符合粒子回旋频率，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$，交流电源频率$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$。
(2)由牛顿第二定律有$qBv_{\max} = \frac{mv_{\max}^{2}}{R_{\max}}$，解得$v_{\max} = \frac{qBR_{\max}}{m}$，最大动能$E_{k\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^{2} = \frac{q^{2}B^{2}R_{\max}^{2}}{2m}$。
(3)设粒子被加速次数为$n$，由动能定理有$nqU = E_{k\max}$，解得$n = \frac{qB^{2}R_{\max}^{2}}{2mU}$。
(4)由于加速度大小始终不变，有$v_{\max} = at$，解得$t = \frac{qBR_{\max}}{ma}$。 拓展 见解析 解析 第$n$次加速后，根据动能定理得$nqU = \frac{1}{2}mv_{n}^{2}$，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得$qv_{n}B = m\frac{v_{n}^{2}}{r_{n}}$，解得$r_{n} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$，第$n + 1$次加速后的轨迹半径为$r_{n + 1} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2(n + 1)mU}{q}}$，相邻轨迹间距$\Delta d = 2r_{n + 1} - 2r_{n}$，解得$\Delta d = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$，通过上面的计算分析可知，该同学画的轨迹不合理。正确的画法是：轨迹间距不相等，轨迹半径越大，$\Delta d$越小，轨迹越密。

【例 4】（2025·嘉兴八校联盟高二期中）

2022 年 12 月 28 日我国中核集团全面完成了$230 MeV$超导回旋加速器自主研制的任务，标志着我国已全面掌握小型化超导回旋加速器的核心技术，进入国际先进行列。置于真空中的$D$形金属盒半径为$R$，磁感应强度为$B$的匀强磁场与盒面垂直，交流加速电压大小恒为$U$。若用此装置对氘核（$^2_1H$）加速，所加交变电流的频率为$f$。加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响，下列说法正确的是（B）
A.仅增大加速电压$U$，则氘核（$^2_1H$）从$D$形盒出口射出的动能增大
B.仅减小加速电压$U$，则氘核（$^2_1H$）被加速次数增多
C.氘核（$^2_1H$）在磁场运动过程中，随着半径逐渐增大，周期也随之逐渐增大
D.若用该加速器加速$\alpha$粒子（$^4_2He$）需要把交变电流的频率调整为$2f$

答案： B [当粒子在磁场的轨迹半径等于D形金属盒半径$R$时，粒子的动能最大$qv_{m}B = m\frac{v_{m}^{2}}{r_{m}}$，故$E_{km} = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} = \frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$，与加速电压和加速次数无关，A错误；粒子在电场中加速$nqU = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} = \frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$，解得$n = \frac{qB^{2}R^{2}}{2mU}$，仅减小加速电压$U$，氘核($_{1}^{2}H$)加速次数增多，B正确；氘核($_{1}^{2}H$)在磁场运动的周期$T = \frac{2\pi m}{Bq}$，与半径无关，不变，C错误；回旋加速器交流电源的频率应等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的频率，氘核($_{1}^{2}H$)和$\alpha$粒子比荷相同，则在磁场中做匀速圆周运动的频率相同，在同一匀强磁场中做圆周运动的频率相同，D错误。]