《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

1.
为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在一个半径为 $R$、圆心为 $O'$ 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 $B$，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以 $O'$ 右边的 $O$ 点为中心放置一个足够大的探测屏，探测屏与 $OO'$ 连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为 $R$ 且沿水平方向的线状粒子源 $MN$，$O'$ 在 $MN$ 的中垂线上，$O'$ 到 $MN$ 的垂直距离为 $1.5R$。该粒子源各处均能持续不断地发射质量为 $m$、电荷量为 $+q$ 的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方向均竖直向上，从粒子源 $MN$ 中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿 $O'O$ 方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。

（1）求粒子发射时的速度大小 $v_0$；
（2）求粒子源左端点 $M$ 与右端点 $N$ 发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差 $\Delta t$。
（1）$\frac{qBR}{m}$；（2）$\frac{\pi m}{3qB}$

答案：
(1)$\frac{qBR}{m}$　
(2)$\frac{\pi m}{3qB}$
解析　
(1)分析可知粒子做圆周运动的半径为$R$，由$qv_0B = m \frac{v_0^2}{R}$，得$v_0 = \frac{qBR}{m}$。
(2)分析可知粒子源左端点$M$与右端点$N$发射的粒子均从磁场边界与$OO'$交点射出，且转过的圆心角分别为：$\theta_M = \frac{2\pi}{3}$，$\theta_N = \frac{\pi}{3}$，两粒子在磁场中运动的周期为$T = \frac{2\pi R}{v_0} = \frac{2\pi m}{qB}$，两粒子在磁场中运动的时间分别为$t_M = \frac{\theta_M}{2\pi}T$，$t_N = \frac{\theta_N}{2\pi}T$，由于两个粒子在匀强磁场区域外部运动的时间相等，所以$\Delta t$即为在磁场中运动的时间差，即$\Delta t = t_M - t_N$，得$\Delta t = \frac{\pi m}{3qB}$。

2.（多选）

如图所示，在磁感应强度大小为 $B$、水平向里的匀强磁场中，直线 $MN$ 既水平又垂直于磁场，磁场空间还有电场强度大小为 $E$、竖直向下的匀强电场。质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带正电粒子从 $MN$ 上的 $a$ 点以大小为 $v$ 的速度沿 $MN$ 向右射出，粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示，轨迹上的 $b$ 点在 $MN$ 上，$c$ 点是轨迹的最高点。已知 $v = \frac{3E}{B}$，不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从 $a$ 运动到 $b$ 的过程中，下列说法正确的是（ ACD ）
A.$c$ 点距 $MN$ 的距离为 $\frac{4Em}{B^2q}$
B.$a$、$b$ 两点间的距离为 $\frac{6\pi Em}{B^2q}$
C.粒子在 $c$ 点受到的向心力大小为 $2Eq$
D.粒子运动的加速度大小恒定不变

答案： ACD　[由题意可知，粒子的运动可以分为一个向右的匀速直线运动的分运动，粒子这个分运动所受的洛伦兹力与粒子所受的静电力平衡$qv_1B = qE$，速度大小为$v_1 = \frac{E}{B}$，则另一个分运动是匀速圆周运动，速度大小为$v' = v - v_1 = \frac{2E}{B}$，粒子做匀速圆周运动的周期为$T = \frac{2\pi m}{qB}$，由$qv'B = m \frac{v'^2}{r}$，解得$r = \frac{mv'}{qB} = \frac{2mE}{qB^2}$，粒子从$a$到$c$是半个周期，$c$点距$MN$的距离为$2r = \frac{4mE}{qB^2}$，故A正确；粒子从$a$到$b$是做匀速圆周运动的一个周期，分运动匀速圆周运动的位移为零，分运动匀速直线运动的位移大小就是$a$、$b$两点间的距离为$x_{ab} = v_1T = \frac{2\pi mE}{qB^2}$，故B错误；粒子在$c$处时速度$v_1$产生的洛伦兹力与静电力平衡，此时速度$v'$水平向左沿轨迹的切线方向，故产生的洛伦兹力提供向心力，即$F_{向} = Bqv' = Bq · \frac{2E}{B} = 2Eq$，故C正确；粒子做匀速直线运动的分加速度为零，做匀速圆周运动的分加速度大小不变，两个分运动的加速度的矢量和大小不变，故D正确。]