《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为 $ a $ 和 $ 3a $ 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为 $ v $ 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为 $ m $，电荷量为 $ e $，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）


A.$ \frac{3mv}{2ae} $
B.$ \frac{mv}{ae} $
C.$ \frac{3mv}{4ae} $
D.$ \frac{3mv}{5ae} $

答案：
C　[磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$r$，由几何关系得$a^2 + r^2 = (3a - r)^2$，根据洛伦兹力提供向心力有$evB = m\frac{v^2}{r}$，联立解得$B = \frac{3mv}{4ae}$，故选C。]

【例 2】(2025·浙江金华卓越联盟高二阶段考试)如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够大平面感光板 $ ab $，板面与磁场方向平行，在距 $ ab $ 的距离 $ L $ 处有一个点状的 $ \alpha $ 粒子放射源 $ S $，它向平面内各个方向均匀发射带正电的 $ \alpha $ 粒子(重力不计)，$ \alpha $ 粒子的速度大小都是 $ v $。(已知 $ \alpha $ 粒子的电荷与质量之比为 $ \frac{q}{m} $，磁感应强度大小为 $ B $，速度大小 $ v = \frac{BqL}{m} $，发射源与 $ ab $ 板距离为 $ L $)，现只考虑在图纸平面中运动的 $ \alpha $ 粒子，粒子间相互作用忽略不计，求：
(1) $ ab $ 上被 $ \alpha $ 粒子打中的区域的长度；
(2) 击中 $ ab $ 板的 $ \alpha $ 粒子中运动最长和最短的时间之差是多少；
(3) 各个方向均匀发射的 $ \alpha $ 粒子中有多少占比的 $ \alpha $ 粒子可以击中 $ ab $ 板。

答案：

(1)$(\sqrt{3} + 1)L$　
(2)$\frac{7\pi m}{6Bq}$　
(3)$50\%$
解析　
(1)洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有$qvB = m\frac{v^2}{R}$，解得$R = L$，轨迹如图甲所示，$ab$上被$\alpha$粒子打中的区域的长度$x = L + \sqrt{(2L)^2 - L^2} = (\sqrt{3} + 1)L$。

(2)如图乙，击中$ab$板的$\alpha$粒子中运动最长时间，使粒子竖直向下运动，轨迹圆与$ab$相切，轨迹圆的弧长为$\frac{3}{4}$周长，所用时长$t_1 = \frac{3}{4} × \frac{2\pi m}{Bq} = \frac{3\pi m}{2Bq}$，如图丙，最短的时间使粒子与竖直方向成$30°$向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为$\frac{1}{6}$周长，所用时长$t_2 = \frac{1}{6} × \frac{2\pi m}{Bq} = \frac{\pi m}{3Bq}$，击中$ab$板的$\alpha$粒子中运动最长和最短的时间之差$\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{7\pi m}{6Bq}$。

(3)沿竖直向上方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的$\frac{1}{4}$，沿竖直向下方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的$\frac{3}{4}$，两者夹角为$180°$，即粒子射出在$S$点右侧的打在$ab$平面感光板上，各个方向均匀发射的$\alpha$粒子中有$50\%$占比的$\alpha$粒子可以击中$ab$板。