《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 4】
如图所示，矩形区域 $ MNPQ $ 内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为 $ m $、带电荷量为 $ q(q ＞ 0) $ 的粒子以某初速度从 $ N $ 点沿 $ NM $ 方向垂直射入磁场中，从 $ P $ 点离开磁场。已知匀强磁场的磁感应强度为 $ B $，$ PN = 2MN = 2L $，粒子只受磁场力。求：
(1) 粒子的初速度大小 $ v_{0} $；
(2) 若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从 $ N $ 点沿 $ NM $ 方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。

(1)$\frac{qBL}{m}$
(2)$\frac{\pi m}{6qB}$

答案：
(1)$\frac{qBL}{m}$
(2)$\frac{\pi m}{6qB}$
解析
(1)由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$r = L$，洛伦兹力提供向心力有$qv_{0}B = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$，解得$v_{0} = \frac{qBL}{m}$。
(2)洛伦兹力提供向心力有$q · 2v_{0}B = m\frac{(2v_{0})^{2}}{R}$，解得$R = 2L$，粒子将从$MQ$边射出，设偏向角为$\theta$，有$\sin \theta = \frac{MN}{R} = \frac{1}{2}$，解得$\theta = 30^{\circ}$，可知粒子在磁场中运动时间为$t = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}T = \frac{T}{12}$，而$T = \frac{2\pi R}{2v_{0}} = \frac{2\pi m}{qB}$，解得$t = \frac{\pi m}{6qB}$。