《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 1
如图所示，足够长的光滑平行金属导轨 $ MN $、$ PQ $ 倾斜固定，间距为 $ L $，导轨平面与水平面间的夹角为 $ \theta $，上端 $ MP $ 间接有阻值为 $ R $ 的电阻，所有导轨电阻不计，整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 $ B $。一质量为 $ m $，电阻为 $ r $，长度也为 $ L $ 的金属棒从导轨上静止释放，棒运动过程中始终垂直于导轨，释放后经过一段距离 $ x $ 达到稳定速度 $ v_{m} $。重力加速度为 $ g $，试分析以下问题。

(1) 金属棒中感应电流的方向；
(2) 金属棒的最大速度 $ v_{m} $ 的表达式；
(3) 金属棒克服安培力做了多少功；
(4) 电阻 $ R $ 产生的热量。
(1)b→a
(2)金属棒稳定切割磁感线时
$E = BLv_m$，$I = \frac{E}{R + r}$，
由平衡条件$BIL = mg\sin\theta$，
得$v_m = \frac{mg(r + R)\sin\theta}{B^2L^2}$。
(3)根据动能定理得
$mgx\sin\theta - W_{克安} = \frac{1}{2}mv_m^2$，
得$W_{克安} = mgx\sin\theta - \frac{1}{2}mv_m^2$。
(4)由功能关系得
$Q = W_{克安}$，$Q_R = \frac{R}{R + r}Q$，
得$Q_R = \frac{R}{R + r}(mgx\sin\theta - \frac{1}{2}mv_m^2)$。

答案： 解析
(1)b→a
(2)金属棒稳定切割磁感线时
$E = BLv_m$，$I = \frac{E}{R + r}$，
由平衡条件$BIL = mg\sin\theta$，
得$v_m = \frac{mg(r + R)\sin\theta}{B^2L^2}$。
(3)根据动能定理得
$mgx\sin\theta - W_{克安} = \frac{1}{2}mv_m^2$，
得$W_{克安} = mgx\sin\theta - \frac{1}{2}mv_m^2$。
(4)由功能关系得
$Q = W_{克安}$，$Q_R = \frac{R}{R + r}Q$，
得$Q_R = \frac{R}{R + r}(mgx\sin\theta - \frac{1}{2}mv_m^2)$。

例 2
（2025·台州市高二期中）如图所示，足够长的平行金属导轨 $ MN $、$ PQ $ 平行放置，间距为 $ L = 3\ m $，与水平面成 $ \theta = 53^{\circ} $，导轨与固定电阻 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $ 相连，且 $ R_{1} = R_{2} = 2\ \Omega $。$ R_{1} $ 支路串联开关 $ S $，原来 $ S $ 闭合，匀强磁场垂直导轨平面斜向上。有一质量为 $ m = 1\ kg $ 的导体棒 $ ab $ 与导轨垂直放置，接触面粗糙且两者始终接触良好，导体棒的电阻 $ R $ 也为 $ 2\ \Omega $。现让导体棒从静止释放沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为 $ v = 2\ m/s $，此时整个电路消耗的电功率为 $ 12\ W $。已知当地的重力加速度 $ g $ 取 $ 10\ m/s^{2} $，$ \sin 53^{\circ} = 0.8 $，导轨电阻不计。求：

(1) 在上述稳定状态时，导体棒 $ ab $ 中的电流 $ I $ 和磁感应强度 $ B $ 的大小；
(2) 如果导体棒从静止释放沿导轨下滑 $ x = 1\ m $ 距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路产生的焦耳热；
(3) 断开开关 $ S $ 后，导体棒沿导轨下滑一段距离 $ d $ 后，通过导体棒 $ ab $ 的电荷量为 $ q = 3\ C $，求这段距离 $ d $。
(1)2A 1T
(2)4J
(3)4m

答案：
(1)2A 1T
(2)4J
(3)4m
解析
(1)当导体棒以速率$v$匀速下滑时，电路中的总电阻
$R_总 = 1.5R = 3\Omega$，
由$P_电 = I^2R_总$，
得$I = 2A$。
感应电动势$E = IR_总 = 6V$，
由$E = BLv$，
得$B = 1T$。
(2)根据能量的转化与守恒可知
$mgv\sin53^{\circ}=P_电 + F_fv$，
得$F_f = 2N$，
由能量的转化与守恒有
$mg\sin53^{\circ}x = F_fx + Q + \frac{1}{2}mv^2$，
得$Q = 4J$。
(3)根据法拉第电磁感应定律有
$E' = n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，
又$I' = \frac{E'}{R'}$，$q = I'\Delta t$，
可得$q = \frac{\Delta\Phi}{R'}$，
由$\Delta\Phi = BLd$，得$d = 4m$。