《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 4】
（2024·杭州市高二期末）如图所示，倾角为 $ \theta = 37° $ 的光滑金属导轨 $ MN $ 和 $ M'N' $ 的上端接有一个单刀双掷开关 $ K $。开关接 $ 1 $ 时，导轨与匝数 $ n = 600 $、横截面积 $ S = 25 \, cm^2 $ 的金属线圈相连，整个线圈置于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度以 $ \frac{\Delta B_0}{\Delta t} = 0.8 \, T/s $ 均匀增加。开关接 $ 2 $ 时，导轨与 $ C = 1 \, F $ 的电容器相连。在倾斜导轨距底端高为 $ H = 0.4 \, m $ 处放置一质量 $ m = 0.04 \, kg $ 的金属杆，已知在 $ MNN'M' $ 区域内有垂直导轨平面向下的匀强磁场 $ B_1 $，$ B_1 = 1.0 \, T $，金属杆长、导轨间距均为 $ L = 0.2 \, m $。金属杆与导轨始终接触良好且金属杆与导轨 $ MN $、$ M'N' $ 的电阻均可忽略不计。$ \sin 37° = 0.6 $，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $，则：
(1) 线圈产生的感应电动势大小，端点 $ 1 $ 和 $ M $ 哪点的电势高；
(2) 将开关 $ K $ 拨到 $ 1 $，若金属杆恰好静止，求线圈的电阻；
(3) 接第(2)问，将开关 $ K $ 快速拨到 $ 2 $，求金属杆到 $ NN' $ 时的速率 $ v $ 和电容器 $ C $ 的带电量 $ q $。
(1)1.2 VM点电势高
(2)1 Ω
(3)2 m/s0.4 C

答案：
(1)$1.2\ V$ $M$点电势高
(2)$1\ \Omega$
(3)$2\ m/s$ $0.4\ C$
解析　
(1)由法拉第电磁感应定律可得$E = n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = n\frac{\Delta B_{0}}{\Delta t}S = 1.2\ V$，根据楞次定律可知，线圈中感应电流方向由端点$1$到端点$M$，由于线圈相当于电源，电源内部的电流由负极流向正极，所以$M$点的电势高。
(2)将开关$K$拨到$1$，若金属杆恰好静止，由平衡条件可得$B_{1}IL = mg\sin 37^{\circ}$，
又$I = \frac{E}{r}$，联立解得线圈的电阻为$r = 1\ \Omega$。
(3)将开关$K$快速拨到$2$，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律可得$mg\sin 37^{\circ} - B_{1}I'L = ma$，
金属杆与电容器构成闭合回路，电流为$I' = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{C\Delta U}{\Delta t} = \frac{CB_{1}L\Delta v}{\Delta t} = CB_{1}La$，
联立可得$a = \frac{mg\sin 37^{\circ}}{CB_{1}^{2}L^{2} + m} = 3\ m/s^{2}$，可知杆做匀加速运动，金属杆到$NN'$时，根据匀变速直线运动规律有$2a · \frac{H}{\sin 37^{\circ}} = v^{2}$，
可得$v = 2\ m/s$，
电容器的带电量$q = CU$，
根据$U = E' = B_{1}Lv$，
联立解得$q = 0.4\ C$。