《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 2（多选）
某空间内存在电场强度大小 $E = 100\ V/m$、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度 $B = 100\ T$、方向垂直纸面向里的磁场（均未画出）。一质量为 $m = 0.1\ kg$、电荷量 $q = +0.01\ C$ 的小球从 $O$ 点由静止释放，虚线 $OC$ 与水平方向的夹角为 $45^{\circ}$，小球在竖直平面内的运动轨迹如图的实线所示，轨迹上 $A$ 点（距 $OC$ 距离最远）离 $OC$ 距离为 $l$（未知），重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$。下列说法正确的是（ ）

A.小球在 $A$ 点的速度为 $2\sqrt{2}\ m/s$
B.小球在 $A$ 点的速度为 $0$
C.$A$ 点离 $OC$ 距离 $l = \sqrt{2}\ m$
D.$A$ 点离 $OC$ 距离 $l = \frac{\sqrt{2}}{5}\ m$

答案：
AD　[分解时，沿虚线向下的速度$v_1$应使洛伦兹力与重力和静电力的合力等大反向，这样才能使小球的一个分运动以速度$v_1$做匀速直线运动，同时以另一分速度做圆周运动，由$qv_1B = F_{合} = \sqrt{2}mg$可得$v_1 = \sqrt{2} m/s$。由配速法知，初速度$0$可分解成$v_1 = \sqrt{2} m/s$（沿虚线$OC$向下）和$v_2 = \sqrt{2} m/s$（沿虚线$OC$向上），如图所示，则小球的运动分解成沿虚线$OC$向下的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动，小球在$A$点，两分运动的速度同向，合速度最大，即$v_{max} = 2\sqrt{2} m/s$，选项A正确，B错误；$l$为偏离虚线的最大距离，即为圆周运动的直径，则$l = 2r = \frac{2mv_2}{qB} = \frac{\sqrt{2}}{5} m$，选项C错误，D正确。]

例 3（2024·甘肃卷）

质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为 $U$；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 $E_1$，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 $B_1$，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为 $B_2$，方向垂直纸面向里。从 $S$ 点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由 $O$ 点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的 $P$ 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求 $O$ 点到 $P$ 点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为 $E_2$（$E_2$ 略大于 $E_1$），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的 $O'$ 点上。求粒子打在 $O'$ 点的速度大小。

答案：

(1)带正电　$\frac{E_1^2}{2UB_1^2}$　
(2)$\frac{4UB_1}{E_1B_2}$　
(3)$\frac{2E_2 - E_1}{B_1}$
解析　
(1)粒子在磁场$B_2$中$O$处所受洛伦兹力方向向上，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为$m$，电荷量为$q$，粒子进入速度选择器时的速度为$v_0$，在加速电场中，由动能定理$qU = \frac{1}{2}mv_0^2$，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件$qv_0B_1 = qE_1$，联立解得$\frac{q}{m} = \frac{E_1^2}{2UB_1^2}$。
(2)在III中由洛伦兹力提供向心力$qv_0B_2 = m \frac{v_0^2}{r}$，可得$O$点到$P$点的距离为$OP = 2r = \frac{4UB_1}{E_1B_2}$。
(3)粒子进入II瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力$F_{洛} = qv_0B_1$，向下的静电力$F = qE_2$，由于$E_2 ＞ E_1$，且$qv_0B_1 = qE_1$，所以通过配速法，如图所示。其中满足$qE_2 = q(v_0 + v_1)B_1$，则粒子在速度选择器中水平向右以速度$v_0 + v_1$做匀速运动的同时，竖直方向以$v_1$做匀速圆周运动，当速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的$O'$点的要求，故此时粒子打在$O'$点的速度大小为$v' = v_0 + v_1 + v_1 = \frac{2E_2 - E_1}{B_1}$。