《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

【例 3】
（2024·浙江三锋联盟高二期中）图甲所示为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴按如图所示方向匀速转动，线圈的匝数$n = 50$匝，电阻$r = 2$ Ω，线圈的两端经集流环与电阻 R 连接，阻值$R = 8$ Ω，与 R 并联的交流电压表为理想电表。在$t = 0$时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过线圈的磁通量$\varPhi$随时间 t 按图乙所示正弦规律变化。$\pi$取 3.14，求：

（1）交流发电机产生的电动势的最大值；
（2）从图示位置转过$90^{\circ}$，通过电阻 R 的电荷量和电阻 R 上产生的焦耳热。
（1）$100 V$　（2）$0.1 C$　$6.28 J$

答案： （1）$100 V$　（2）$0.1 C$　$6.28 J$
解析　
(1)由$\Phi - t$图线可知$\Phi_{\mathrm{m}}=2.0 × 10^{-2} Wb$，周期为$T=6.28 × 10^{-2} s$，由于$\Phi_{\mathrm{m}}=BS$，且$\omega=\frac{2\pi}{T}=100 rad/s$，感应电动势最大值为$E_{\mathrm{m}}=nBS\omega=n\Phi_{\mathrm{m}}\omega=50 × 2.0 × 10^{-2} × 100 V=100 V$。
(2)从图示位置转过$90^{\circ}$，磁通量变化量为$\Delta\Phi=BS=\Phi_{\mathrm{m}}=2.0 × 10^{-2} Wb$，通过电阻$R$的电荷量$q=\bar{I}\Delta t=\frac{\bar{E}}{R+r}\Delta t=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t(R+r)}\Delta t=n\frac{\Delta\Phi}{R+r}=50 × \frac{2.0 × 10^{-2}}{8+2} C=0.1 C$，电动势的有效值为$E=\frac{E_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}=\frac{100}{\sqrt{2}} V=50\sqrt{2} V$，根据焦耳定律可得$Q=\left(\frac{E}{R+r}\right)^{2}Rt=\left(\frac{50\sqrt{2}}{8+2}\right)^{2} × 8 × \frac{1}{4} × 6.28 × 10^{-2} J=6.28 J$。

【例 4】
如图所示，间距为 L 的光滑平行金属导轨，水平放置在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，导轨一端接有阻值为 R 的电阻。一有效电阻为 r、质量为 m 的导体棒放置在导轨上，在外力 F 作用下从$t = 0$时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为$v = v_{m}\sin\omega t$，不计导轨电阻。求：

（1）从$t = 0$到$t=\frac{2\pi}{\omega}$时间内电阻 R 产生的热量；
（2）从$t = 0$到$t=\frac{2\pi}{\omega}$时间内外力 F 所做的功。
（1）$\left(\frac{BLv_{\mathrm{m}}}{R+r}\right)^{2}\frac{\pi R}{\omega}$　（2）$\frac{\pi B^{2}L^{2}v_{\mathrm{m}}^{2}}{(R+r)\omega}$

答案： （1）$\left(\frac{BLv_{\mathrm{m}}}{R+r}\right)^{2}\frac{\pi R}{\omega}$　（2）$\frac{\pi B^{2}L^{2}v_{\mathrm{m}}^{2}}{(R+r)\omega}$
解析　
(1)导体棒切割磁感线产生的电动势为$e=BLv_{\mathrm{m}}\sin\omega t$，回路中产生正弦交流电，电动势有效值为$E=\frac{BLv_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}$，在$0 \sim \frac{2\pi}{\omega}$时间内，电阻$R$产生的热量$Q_{R}=\left(\frac{E}{R+r}\right)^{2}R · \frac{2\pi}{\omega}=\left(\frac{BLv_{\mathrm{m}}}{R+r}\right)^{2}\frac{\pi R}{\omega}$。
(2)由功能关系得，外力$F$所做的功$W=Q_{总}$，又因$\frac{Q_{R}}{Q_{总}}=\frac{R}{R+r}$，所以$W=Q_{总}=\frac{\pi B^{2}L^{2}v_{\mathrm{m}}^{2}}{(R+r)\omega}$。