《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 1
（多选）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨 MN 和 PQ，两导轨间距为 L，导轨电阻均可忽略不计。在 M 和 P 之间接有一阻值为 R 的定值电阻，导体杆 ab 质量为 m、电阻也为 R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。现给 ab 杆一个初速度 $ v_0 $，使杆向右运动，最终 ab 杆停止在导轨上。下列说法正确的是 （BD）

A.ab 杆将做匀减速运动直到静止
B.ab 杆速度减为 $ \frac{v_0}{3} $ 时，ab 杆加速度大小为 $ \frac{B^2 L^2 v_0}{6mR} $
C.ab 杆速度减为 $ \frac{v_0}{3} $ 时，通过定值电阻的电荷量为 $ \frac{mv_0}{3BL} $
D.ab 杆速度减为 $ \frac{v_0}{3} $ 时，ab 杆通过的位移为 $ \frac{4mRv_0}{3B^2 L^2} $

答案： BD $[ab$ 杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为 $F_{\mathrm{A}}=\frac{B^{2} L^{2} v}{2 R}$，加速度大小为 $a=\frac{F_{\mathrm{A}}}{m}=\frac{B^{2} L^{2} v}{2 m R}$，由于速度减小，所以 $ab$ 杆做加速度减小的减速运动直到静止，故 A 错误；当 $ab$ 杆的速度为 $\frac{v_{0}}{3}$ 时，安培力大小为 $F_{\mathrm{A}}^{\prime}=\frac{B^{2} L^{2} \frac{v_{0}}{3}}{2 R}$，所以加速度大小为 $a=\frac{F_{\mathrm{A}}^{\prime}}{m}=\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{6 m R}$，故 B 正确；对 $ab$ 杆，由动量定理得 $-\bar{B} \bar{I} L · \Delta t=m \frac{v_{0}}{3}-m v_{0}$，即 $B L q=\frac{2}{3} m v_{0}$，解得 $q=\frac{2 m v_{0}}{3 B L}$，所以通过定值电阻的电荷量为 $\frac{2 m v_{0}}{3 B L}$，故 C 错误；由 $q=\frac{\Delta \Phi}{2 R}=\frac{B L x}{2 R}$，解得 $ab$ 杆通过的位移 $x=\frac{2 R q}{B L}=\frac{4 m R v_{0}}{3 B^{2} L^{2}}$，故 D 正确。]

例 2
如图甲所示，电阻不计且间距 $ L = 1.5 \, m $ 的光滑平行金属导轨竖直放置，上端接一阻值 $ R = 2 \, \Omega $ 的电阻，虚线 $ OO' $ 下方有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，现将质量 $ m = 0.2 \, kg $、电阻 $ r = 1 \, \Omega $ 的金属杆 ab 从 $ OO' $ 上方某处由静止释放。金属杆在下落的过程中与导轨保持良好接触且始终水平。已知杆 ab 进入磁场时的速度 $ v_0 = 1 \, m/s $，下落 $ 0.3 \, m $ 的过程中加速度 a 与下落距离 h 的关系图像如图乙所示，g 取 $ 10 \, m/s^2 $。求：

(1) 匀强磁场的磁感应强度大小 B（结果可用根号表示）；
(2) 杆 ab 下落 $ 0.3 \, m $ 的过程中，电阻 R 上产生的热量 Q（结果保留三位有效数字）；
(3) 杆 ab 从进入磁场到下落至 $ 0.3 \, m $ 处的时间。
(1)$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~T}$
(2)0.383 J
(3)0.45 s

答案：
(1)$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~T}$
(2)0.383 J
(3)0.45 s
解析
(1)金属杆进入磁场后，杆 $ab$ 所受的安培力方向与运动方向相反，竖直向上。由题图乙知，刚进入磁场时，金属杆 $ab$ 的加速度大小 $a_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$，方向竖直向上。
由牛顿第二定律得 $B I_{0} L-m g=m a_{0}$，
金属杆刚进入磁场时，根据闭合电路欧姆定律得 $I_{0}=\frac{B L v_{0}}{R+r}$，
解得 $B=\frac{4 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~T}$。
(2)通过 $a-h$ 图像知 $h=0.3 \mathrm{~m}$ 时 $a=0$，
则金属杆受到的重力与安培力平衡，可得 $m g=B I L=\frac{B^{2} L^{2} v}{R+r}$，
解得 $v=\frac{m g(R+r)}{B^{2} L^{2}}=0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，
$ab$ 杆下落 $0.3 \mathrm{~m}$ 的过程中，由能量守恒定律有 $m g h=Q_{\text {总 }}+\frac{1}{2} m v^{2}$，
电阻 $R$ 上产生的热量为 $Q=\frac{R}{R+r} Q_{\text {总 }} \approx 0.383 \mathrm{~J}$。
(3)金属杆自由下落的高度 $h_{0}=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=0.05 \mathrm{~m}$，
杆 $ab$ 下落 $0.3 \mathrm{~m}$ 的过程中，通过磁场的距离为 $x=h-h_{0}=0.3 \mathrm{~m}-0.05 \mathrm{~m}=0.25 \mathrm{~m}$，
杆 $ab$ 从进入磁场到下落至 $0.3 \mathrm{~m}$ 处通过电阻 $R$ 的电荷量 $q=\bar{I} \Delta t=\frac{\Delta \Phi}{R+r}=\frac{B L x}{R+r}=\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{C}$，
杆 $ab$ 从进入磁场到下落至 $0.3 \mathrm{~m}$ 处，由动量定理得 $m g t-B \bar{I} L t=m v-m v_{0}$，
解得 $t=0.45 \mathrm{~s}$。