《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 3
（2024·浙江山海协作体高二期中）如图所示，空间直角坐标系 $ Oxyz $ 中，$ M $、$ N $ 为竖直放置的两金属板构成的加速器，两板间电压为 $ U $。荧光屏 $ Q $ 位于 $ Oxy $ 平面上，虚线分界面 $ P $ 将金属板 $ N $、荧光屏 $ Q $ 间的区域分为宽度均为 $ d $ 的Ⅰ、Ⅱ两部分，$ M $、$ N $、$ P $、$ Q $ 与 $ Oxy $ 平面平行，$ ab $ 连线与 $ z $ 轴重合。区域Ⅰ、Ⅱ内可以分别充满沿 $ y $ 轴负方向的匀强磁场和沿 $ y $ 轴正方向匀强电场，磁感应强度大小为 $ \dfrac{1}{d}\sqrt{\dfrac{3mU}{2q}} $、电场强度大小为 $ \dfrac{U}{d} $。一质量为 $ m $、电荷量为 $ +q $ 的粒子，从 $ M $ 板上的 $ a $ 点静止释放，经加速器加速后从 $ N $ 板上的 $ b $ 孔射出，最后打在荧光屏 $ Q $ 上。不考虑粒子的重力，$ P $、$ Q $ 足够大，不计电场、磁场的边缘效应。求：

(1) 粒子在 $ b $ 点速度大小；
(2) 如果只在Ⅱ内加电场，则粒子打到荧光屏 $ Q $ 上时到 $ z $ 轴的距离；
(3) 如果只在Ⅰ内加磁场，则粒子经过 $ P $ 分界面时到 $ z $ 轴的距离；
(4) 如果在Ⅰ内加磁场同时在Ⅱ内加电场，则粒子打到荧光屏 $ Q $ 上的位置（用坐标 $ x $，$ y $，$ z $ 表示）。

答案：

(1)$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$　
(2)$\frac{1}{4}d$　
(3)$\frac{\sqrt{3}}{3}d$　
(4)$(\frac{4}{3}\sqrt{3}d,d,0)$
解析　
(1)粒子在电场加速过程中，根据动能定理有$qU = \frac{1}{2}mv^{2}$，解得$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$。
(2)粒子在区域Ⅱ内电场中的轨迹如图。

粒子在电场中做类平抛运动$d = vt$，$y_1 = \frac{1}{2} × \frac{qU}{md}t^{2}$，联立解得粒子在荧光屏$Q$时到$z$轴的距离为$y_1 = \frac{1}{4}d$。
(3)粒子在区域Ⅰ磁场中的运动轨迹如图。

根据几何关系有$\sin\theta = \frac{d}{R}$，又粒子在磁场中有$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得$R = \frac{2\sqrt{3}}{3}d$，可得$\theta = 60^{\circ}$，所以粒子在$P$分界面时到$z$轴的距离为$x_1 = R(1 - \cos\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3}d$。
(4)如果同时存在磁场和电场，粒子在区域Ⅰ发生偏转后，在区域Ⅱ电场中做类平抛运动，粒子在$z$轴方向向上移动的时间为$t' = \frac{d}{v\cos\theta}$，在$x$轴方向上匀速直线运动，有$x_2 = v\sin\theta · t' = \sqrt{3}d$，所以$x$轴上的坐标$x = x_1 + x_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}d$，在$y$轴上发生偏转，该方向位移$y = \frac{1}{2}\frac{qU}{2md}t'^{2} = d$，所以粒子打在荧光屏上的坐标为$(\frac{4}{3}\sqrt{3}d,d,0)$。