《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

二、回旋加速器
1. 我们在研究原子核内部情况时，要用极高能量的粒子轰击原子核。那么该如何增加带电粒子的动能呢？
2. 产生过高的电压在技术上很困难，经过一次加速粒子增加的动能又有限，那么如何才能使带电粒子获得极高的能量呢？
3. 在如图所示的多级加速器中，各加速区的两板之间用独立电源供电，所以粒子从$P_2$飞向$P_3$、从$P_4$飞向$P_5$……时不会减速。这种加速器有什么缺点？

4. 为了克服上述缺点，人们设计出了回旋加速器如图所示。
回旋加速器两$D$形盒之间有窄缝，中心附近放置粒子源（如质子、氘核或$\alpha$粒子源），$D$形盒间接上交流电源，在狭缝中形成一个交变电场。$D$形盒上有垂直盒面的匀强磁场（如图所示）。

(1) 回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？对交流电源的周期有什么要求？在一个周期内加速几次？
磁场作用：使带电粒子做匀速圆周运动。根据洛伦兹力公式$F = qvB$，洛伦兹力提供向心力$F_{向}= \frac{mv^{2}}{r}$，即$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$（$q$为粒子电荷量，$v$为粒子速度，$B$为磁感应强度，$m$为粒子质量，$r$为圆周运动半径）。
电场作用：使带电粒子加速，粒子每次经过电场时，电场力对粒子做功，根据动能定理$W = qU=\Delta E_{k}$（$U$为加速电压）。
对交流电源周期的要求：交流电源的周期$T$等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期$T=\frac{2\pi m}{qB}$。因为只有这样，才能保证粒子每次经过狭缝时都被加速。
一个周期内加速次数：$2$次。粒子在一个周期内两次经过狭缝（电场区域）。
(2) 带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？如何提高粒子的最大动能？
最大动能的决定因素：
由$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$可得$v=\frac{qBr}{m}$，带电粒子的动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，将$v=\frac{qBr}{m}$代入可得$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$（$r$为$D$形盒的半径）。所以带电粒子获得的最大动能由磁感应强度$B$、$D$形盒半径$r$、粒子的电荷量$q$和质量$m$决定。
提高最大动能的方法：
增大磁感应强度$B$，根据$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$，$B$增大，$E_{k}$增大。
增大$D$形盒的半径$r$ ，同样根据$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$，$r$增大，$E_{k}$增大。

答案： （1）
磁场作用：使带电粒子做匀速圆周运动。根据洛伦兹力公式$F = qvB$，洛伦兹力提供向心力$F_{向}= \frac{mv^{2}}{r}$，即$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$（$q$为粒子电荷量，$v$为粒子速度，$B$为磁感应强度，$m$为粒子质量，$r$为圆周运动半径）。
电场作用：使带电粒子加速，粒子每次经过电场时，电场力对粒子做功，根据动能定理$W = qU=\Delta E_{k}$（$U$为加速电压）。
对交流电源周期的要求：交流电源的周期$T$等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期$T=\frac{2\pi m}{qB}$。因为只有这样，才能保证粒子每次经过狭缝时都被加速。
一个周期内加速次数：$2$次。粒子在一个周期内两次经过狭缝（电场区域）。
（2）
最大动能的决定因素：
由$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$可得$v=\frac{qBr}{m}$，带电粒子的动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，将$v=\frac{qBr}{m}$代入可得$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$（$r$为$D$形盒的半径）。所以带电粒子获得的最大动能由磁感应强度$B$、$D$形盒半径$r$、粒子的电荷量$q$和质量$m$决定。
提高最大动能的方法：
增大磁感应强度$B$，根据$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$，$B$增大，$E_{k}$增大。
增大$D$形盒的半径$r$ ，同样根据$E_{k}=\frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{2m}$，$r$增大，$E_{k}$增大。

1. 粒子被加速的条件
交变电场的周期等于粒子在磁场中运动的周期。
2. 粒子最终的能量
粒子速度最大时的运动半径等于$D$形盒的半径，即$r_m = R$，$r_m = \frac{mv_m}{qB}$，则粒子的最大动能$E_{km} =$$\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$。
3. 粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数$n = \frac{E_{km}}{qU}$（$U$是加速电压的大小）。
4. 粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为$t_1$，在磁场中运动的时间为$t_2 = n·\frac{T}{2} = \frac{n\pi m}{qB}$（$n$为加速次数），总时间为$t = t_1 + t_2$，因为$t_1 \ll t_2$，一般认为在回旋加速器中运动的时间近似等于$t_2$。
「思考与讨论」
若粒子在回旋加速器电场中运动时间不可忽略，如何计算粒子在回旋加速器电场中加速的总时间？

答案： 1. 粒子在磁场中运动的周期
2. $\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$
思考与讨论：
解：设粒子在电场中的加速度为$a$（$a = \frac{qU}{md}$，$d$为电场间距），粒子加速$n$次（$n=\frac{E_{km}}{qU}$），每次加速位移为$d$。
根据运动学公式$nd=\frac{1}{2}at_{1}^{2}$，将$a = \frac{qU}{md}$，$n=\frac{E_{km}}{qU}$代入可得：
$\frac{E_{km}}{qU}× d=\frac{1}{2}×\frac{qU}{md}t_{1}^{2}$，解关于$t_{1}$的方程：
$\begin{aligned}t_{1}^{2}&=\frac{2md×\frac{E_{km}}{qU}}{\frac{qU}{md}}\\t_{1}^{2}&=\frac{2m^{2}d^{2}E_{km}}{q^{2}U^{2}}\\t_{1}&=\frac{md\sqrt{2E_{km}}}{qU}\end{aligned}$
其中$E_{km}=\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$，再代入可得$t_{1}=\frac{dBR}{U}$。所以粒子在回旋加速器电场中加速的总时间$t_{1}=\frac{dBR}{U}$（$d$为电场间距，$B$为磁感应强度，$R$为$D$形盒半径，$U$为加速电压 ）。