《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路
研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。
(1) 定圆心：
① 洛伦兹力的方向一定过圆心。
如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向（垂直于边界）和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。
② 圆的弦的中垂线必过圆心。
如图乙所示，已知进磁场的入射方向（垂直于边界）和射出磁场的位置 $ M $，试通过作图确定圆心的位置。
③ 圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。
如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，分别经过 $ A $、$ O $、$ B $ 三点，试通过作图确定圆心的位置。

(2) 求半径 $ r $：作图之后，建立已知长度和半径的几何关系，如图甲，已知磁场的宽度为 $ d $，粒子出磁场时相对入射方向的偏转角为 $ 60^{\circ} $，求粒子的轨迹半径。2√3 d/3
(3) 求时间 $ t $：
① $ t = \frac{\theta}{2\pi}T $（$ \theta $ 为圆心角，$ T $ 为周期）；
② $ t = \frac{l}{v} $（$ l $ 为弧长，$ v $ 为速度）。

(4) 圆心角与偏向角、弦切角的关系：
如图丁所示，带电粒子射出匀强磁场时的速度方向与射入匀强磁场时的速度方向之间的夹角 $ \varphi $ 叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦 $ PM $ 与入射速度（即 $ P $ 点轨迹切线）的夹角叫作弦切角 $ \theta $，则 $ \varphi $、$ \alpha $、$ \theta $ 三者的关系为 φ=α=2θ。

答案：
(2)2√3 d/3；
(4)φ=α=2θ

【例 3】
如图所示，一个质量为 $ m $、带电荷量为 $ q $、不计重力的带电粒子从 $ x $ 轴上的 $ P $ 点以速度 $ v $ 沿与 $ x $ 轴正方向成 $ 60^{\circ} $ 的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 $ y $ 轴射出第一象限。已知 $ OP = a $，求：

(1) 匀强磁场的磁感应强度的大小；
(2) 带电粒子穿过第一象限所用的时间。
拓展
若使带电粒子从 $ x $ 轴离开磁场区域，磁感应强度应增大还是减小？

答案：

(1)$\frac{\sqrt{3}mv}{2aq}$
(2)$\frac{4\sqrt{3}\pi a}{9v}$
解析
(1)设匀强磁场的磁感应强度为$B$，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$r$。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得$r = \frac{a}{\cos 30^{\circ}}$，联立解得$B = \frac{\sqrt{3}mv}{2aq}$。
(2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为$T$，则$T = \frac{2\pi r}{v}$，由图知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹对应的圆心角为$\theta = \frac{2\pi}{3}$，粒子在磁场中运动的时间为$t = \frac{\theta}{2\pi}T$，联立解得$t = \frac{4\sqrt{3}\pi a}{9v}$。

拓展 增大
解析 由$qvB = \frac{mv^{2}}{r}$得$r = \frac{mv}{qB}$，$B$增大，$r$减小。