《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

四、多边形边界或三角形边界
【例 5】（多选）如图所示，边长为 L 的正三角形 abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量均为 q 的三个粒子 A、B、C 以大小不等的速度从 a 点沿与 ab 边成 30°角的方向垂直射入磁场后从 ac 边界穿出，穿出 ac 边界时与 a 点的距离分别为 $\dfrac{L}{3}$、$\dfrac{2L}{3}$、L。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（CD）

A.粒子 C 在磁场中做圆周运动的半径为 2L
B.A、B、C 三个粒子的初速度大小之比为 3 : 2 : 1
C.A、B、C 三个粒子从磁场中射出的方向均与 ab 边垂直
D.仅将磁场的磁感应强度减小 $\dfrac{1}{3}$，则粒子 B 从 c 点射出

答案： CD　[由圆周运动的对称性可知，从同一直线边界以30°的弦切角进磁场，射出时的速度也与边界成30°角，而圆心角为60°，则圆心和入射点以及出射点构成等边三角形，由几何关系可知rₐ = $\frac{L}{3}$，r_b = $\frac{2L}{3}$，r_c = L，A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB = m$\frac{v²}{r}$，可得v = $\frac{qBr}{m}$，则初速度大小之比vₐ : v_b : v_c = 1 : 2 : 3，B错误；由于三个粒子从ac边射出时速度方向与ac边的夹角均为30°，故射出的方向均与ab边垂直，C正确；由r = $\frac{mv}{qB}$可知，仅将磁感应强度大小B改为$\frac{2B}{3}$，则粒子B做圆周运动的半径将变为r_b' = $\frac{2L}{3}$ × $\frac{3}{2}$ = L，而其他条件不变，由几何关系可知，粒子B将从c点射出，D正确。]

【例 1】如图所示，宽为 $ d $ 的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 $ B $，一质量为 $ m $、电荷量为 $ e $ 的质子从 $ A $ 点出发，与边界成 $ 60^{\circ} $ 角进入匀强磁场。

(1) 当 $ v = \frac{Bed}{2m} $ 时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至 $ MN $ 的距离，并画出轨迹图；
(2) 当 $ v = \frac{2edB}{3m} $ 时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至 $ MN $ 的距离，并画出轨迹图；
(3) 当 $ v = \frac{2\sqrt{3}edB}{3m} $ 时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图；
(4) 若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。
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答案：
解析　
(1)由洛伦兹力提供向心力$Bev = m\frac{v^2}{r}$，可得$r = \frac{mv}{eB}$，代入可得$r_1 = \frac{1}{2}d$，最远点至$MN$的距离$L_1 = r_1 + r_1\cos60° = \frac{3}{4}d$，轨迹如图中①所示。

(2)由$r = \frac{mv}{eB}$得$r_2 = \frac{2}{3}d$，最远点至$MN$的距离$L_2 = r_2 + r_2\cos60° = d$，此时轨迹与边界$PQ$相切，轨迹如图中②所示。
(3)由$r = \frac{mv}{eB}$得$r_3 = \frac{2\sqrt{3}}{3}d$，轨迹如图中③所示。
(4)从画出的轨迹发现，当$v = \frac{2edB}{3m}$时，轨迹恰好与右边界$PQ$相切，所以当$0 ＜ v \leq \frac{2edB}{3m}$时，质子从左边界飞出。