《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨 MN 和 PQ，导轨间距为 L，电阻不计，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。导轨上放有质量均为 m、电阻均为 R 的金属棒 a、b。开始时金属棒 b 静止，金属棒 a 获得平行导轨向右的初速度 $ v_0 $。
(1) 试分析金属棒 a、b 的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动？
(2) 在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化？
(3) 金属棒 a、b 稳定后的速度？
(4) 从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热？

提炼·总结
1. 问题情景：
在相互平行的水平轨道间的双棒切割磁感线的问题中，若这两棒受的安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为 0，两棒组成的系统动量守恒。
2. 这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1) 动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2) 动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒所受的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3) 能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
思考与讨论
在上面的问题中，求金属棒 a 从初速度 $ v_0 $ 到两棒共速的过程中，
(1) 流过金属棒 a 的电荷量 q；
(2) a 和 b 距离的增加量 $ \Delta x $。
(1)a做减速运动，b做加速运动，稳定后以相同速度做匀速直线运动
(2)两金属棒受到安培力的冲量大小相等，方向相反；系统动量守恒
(3)$v=\frac{v_{0}}{2}$
(4)$Q = \frac{1}{4}mv_{0}^{2}$
思考与讨论（1）$q=\frac{mv_{0}}{2BL}$
（2）$\Delta x=\frac{mv_{0}R}{B^{2}L^{2}}$

答案： （1）运动情况分析
- 金属棒$a$获得初速度$v_0$后，切割磁感线产生感应电动势$E = BLv_0$，回路中产生感应电流$I=\frac{E}{2R}=\frac{BLv_0}{2R}$。
- 金属棒$a$受到向左的安培力$F_{a}=BIL$，做减速运动；金属棒$b$受到向右的安培力$F_{b}=BIL$，做加速运动。
- 随着$a$的速度减小，$b$的速度增大，回路中的感应电动势$E = BL(v_{a}-v_{b})$减小，感应电流减小，安培力减小。
- 当$v_{a}=v_{b}$时，回路中感应电动势为$0$，感应电流为$0$，安培力为$0$，两金属棒稳定后以相同的速度做匀速直线运动。
（2）安培力冲量与系统动量分析
- 两金属棒受到的安培力等大反向，作用时间相同。根据$I = Ft$，可知两金属棒受到安培力的冲量大小相等，方向相反。
- 把两棒作为一个系统，系统所受外力的合力为$0$（导轨光滑，水平方向只有安培力，安培力是内力），根据动量守恒定律，该系统的动量守恒。
（3）稳定后的速度
- 解：根据动量守恒定律$mv_{0}=(m + m)v$，
- 解得$v=\frac{v_{0}}{2}$。
（4）产生的焦耳热
- 解：根据能量守恒定律，系统减少的动能转化为焦耳热$Q$。
- 初始动能$E_{k0}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，稳定后动能$E_{k}=\frac{1}{2}(m + m)v^{2}=\frac{1}{2}×2m×(\frac{v_{0}}{2})^{2}=\frac{1}{4}mv_{0}^{2}$。
- 则$Q = E_{k0}-E_{k}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{1}{4}mv_{0}^{2}=\frac{1}{4}mv_{0}^{2}$。
思考与讨论
（1）流过金属棒$a$的电荷量$q$
- 解：根据动量定理，对$a$棒$-I_{安}=mv - mv_{0}$，又$I_{安}=BLq$（$I_{安}$为安培力的冲量，$q$为流过的电荷量）。
- 即$-BLq=m×\frac{v_{0}}{2}-mv_{0}$，
- 解得$q=\frac{mv_{0}}{2BL}$。
（2）$a$和$b$距离的增加量$\Delta x$
- 解：由$q = \frac{\Delta\varPhi}{2R}$（$\Delta\varPhi$为磁通量的变化量），$\Delta\varPhi=BL\Delta x$。
- 又$q=\frac{mv_{0}}{2BL}$，则$\frac{BL\Delta x}{2R}=\frac{mv_{0}}{2BL}$，
- 解得$\Delta x=\frac{mv_{0}R}{B^{2}L^{2}}$。
综上，答案依次为：（1）$a$做减速运动，$b$做加速运动，稳定后以相同速度做匀速直线运动；（2）两金属棒受到安培力的冲量大小相等，方向相反；系统动量守恒；（3）$\boldsymbol{v=\frac{v_{0}}{2}}$；（4）$\boldsymbol{Q = \frac{1}{4}mv_{0}^{2}}$；思考与讨论（1）$\boldsymbol{q=\frac{mv_{0}}{2BL}}$；（2）$\boldsymbol{\Delta x=\frac{mv_{0}R}{B^{2}L^{2}}}$。

例 3
（2024·台州市双语高中高二月考）如图所示，间距均为 L 的光滑平行倾斜导轨与光滑平行水平导轨在 M、N 处平滑连接，虚线 MN 右侧存在方向竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场。a、b 为两根粗细均匀的金属棒，a 棒质量为 m，长度为 L、电阻为 R，垂直固定在倾斜轨道上距水平面高 h 处；b 棒质量为 2m、长度为 L、电阻为 2R，与水平导轨垂直并处于静止状态。a 棒解除固定后由静止释放，运动过程中与 b 棒始终没有接触，不计导轨电阻，重力加速度为 g，求：

(1) a 棒刚进入磁场时产生的电动势大小；
(2) 当 a 棒的速度大小变为刚进入磁场时速度的一半时，b 棒的加速度大小；
(3) 整个运动过程中，b 棒上产生的焦耳热。
(1)$BL\sqrt{2gh}$
(2)$\frac{B^{2}L^{2}\sqrt{2gh}}{24mR}$
(3)$\frac{4}{9}mgh$

答案：
(1)$B L \sqrt{2 g h}$
(2)$ \frac{B^{2} L^{2} \sqrt{2 g h}}{24 m R}$
(3)$ \frac{4}{9} m g h$
解析
(1)设 a 棒下落到底端刚进入磁场瞬间的速度大小为 $v_{\mathrm{a}}$，由机械能守恒定律可得 $m g h=\frac{1}{2} m v_{\mathrm{a}}^{2}$
解得 $v_{\mathrm{a}}=\sqrt{2 g h}$
则刚进入磁场时产生的感应电动势的大小为 $E=B L v_{\mathrm{a}}=B L \sqrt{2 g h}$；
(2)当 a 棒的速度变为刚进入磁场时速度的一半时产生的感应电动势记为 $E_{1}$，设此时 b 棒的速度为 $v_{\mathrm{b}}$，则由动量守恒定律可得 $m v_{\mathrm{a}}=\frac{1}{2} m v_{\mathrm{a}}+2 m v_{\mathrm{b}}$，
解得 $v_{\mathrm{b}}=\frac{1}{4} v_{\mathrm{a}}$，
则此时的感应电动势为 $E_{1}=B L\left(\frac{1}{2} v_{\mathrm{a}}-v_{\mathrm{b}}\right)=\frac{1}{4} B L \sqrt{2 g h}$，
根据闭合电路的欧姆定律，知此时回路中的电流为 $I=\frac{E_{1}}{R+2 R}=\frac{B L \sqrt{2 g h}}{12 R}$，
可知 b 棒此时所受安培力的大小为 $F_{\mathrm{b}}=B I L=\frac{B^{2} L^{2} \sqrt{2 g h}}{12 R}$，
由牛顿第二定律有 $F_{\mathrm{b}}=2 m a_{\mathrm{b}}$，
解得 $a_{\mathrm{b}}=\frac{B^{2} L^{2} \sqrt{2 g h}}{24 m R}$；
(3)通过分析可知 a、b 棒最终将达到共速，之后一起做匀速直线运动，由动量守恒定律可得 $m v_{\mathrm{a}}=(m+2 m) v_{\text {共 }}$，
在运动过程中由能量守恒可得 $\frac{1}{2} m v_{\mathrm{a}}^{2}=\frac{1}{2}(m+2 m) v_{\text {共 }}^{2}+Q_{\text {总 }}$，
联立以上两式可得 $Q_{\text {总 }}=\frac{2}{3} m g h$，
而 a、b 棒串联，则产生的焦耳热等于电阻之比，由此可得 b 棒上产生的焦耳热为 $Q_{\mathrm{b}}=\frac{2}{3} m g h × \frac{2}{3}=\frac{4}{9} m g h$。