《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

如图所示，水平固定且足够长的光滑 U 形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为 R，金属棒的电阻为 r，导轨宽度为 L。若棒分别以初速度 $ v_0 $、$ 2v_0 $ 向右运动，

(1) 请分析金属棒的运动情况？
(2) 两种情况下，从金属棒开始运动至棒停止过程中，通过 R 的电荷量 $ q_1 $、$ q_2 $ 之比为多少？
(3) 两种情况，从金属棒开始运动至棒停止时的位移 $ x_1 $、$ x_2 $ 之比为多少？
(1) 金属棒做加速度减小的减速运动，最后停止；(2) $1:2$；(3) $1:2$

答案：
(1) 金属棒在磁场中运动时，受到安培力作用，安培力方向与运动方向相反，金属棒做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度减小，最后速度减为零，金属棒停止运动。
(2) 根据动量定理：$-B\overline{I}L\Delta t = 0 - mv_0$（以初速度$v_0$为例），又$q = \overline{I}\Delta t$，则$-Bq_1L = 0 - mv_0$；对于初速度为$2v_0$的情况，$-Bq_2L = 0 - m·2v_0$。
由$-Bq_1L = - mv_0$，$-Bq_2L = - 2mv_0$，可得$\frac{q_1}{q_2}=\frac{1}{2}$。
(3) 根据$q = \frac{\Delta\varPhi}{R + r}=\frac{BLx}{R + r}$，对于初速度$v_0$，$q_1=\frac{BLx_1}{R + r}$；对于初速度$2v_0$，$q_2=\frac{BLx_2}{R + r}$。
由$\frac{q_1}{q_2}=\frac{1}{2}$，即$\frac{\frac{BLx_1}{R + r}}{\frac{BLx_2}{R + r}}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{2}$。
答：
(1) 金属棒做加速度减小的减速运动，最后停止；
(2) $1:2$；
(3) $1:2$。