《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

1. 在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个硬质的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向以及磁感应强度的正方向如图甲所示，当磁场的磁感应强度 $ B $ 随时间 $ t $ 按图乙变化时，请在丙图中补全感应电动势 $ E $ 随时间变化的图像。

答案： 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 $ E $ 可以表示为：
$E = -\frac{d\Phi}{dt}$，
其中，磁通量 $ \Phi = B · A $，$ A $ 为线圈的面积。
由于线圈是单匝的，故感应电动势为：
$E = -A \frac{dB}{dt}$。
从图乙中，磁感应强度 $ B $ 随时间 $ t $ 的变化可以分为几个阶段：
$0 \leq t ＜ 1s$：$ B $ 从 0 线性增加到 $ B_0 $，$\frac{dB}{dt} = B_0$，
感应电动势 $ E = -A · B_0$，
由于 $ B $ 增加方向为正，感应电动势为负，即 $ E = -E_0 $（假设 $ E_0 = A · B_0 $）。
$1s \leq t ＜ 3s$：$ B $ 保持恒定，$\frac{dB}{dt} = 0$，
感应电动势 $ E = 0 $。
$3s \leq t ＜ 5s$：$ B $ 从 $ B_0 $ 线性减少到 0，$\frac{dB}{dt} = -B_0/2 = -B_0$，
感应电动势 $ E = A · B_0 = E_0 $。
在图丙中补全感应电动势 $ E $ 随时间变化的图像如下：
$0 \leq t ＜ 1s$：$ E = -E_0 $；
$1s \leq t ＜ 3s$：$ E = 0 $；
$3s \leq t ＜ 5s$：$ E = E_0 $。
感应电动势 $ E $ 随时间变化的图像为：
$0 \leq t ＜ 1s$，$ E = -E_0 $；
$1s \leq t ＜ 3s$，$ E = 0 $；
$3s \leq t ＜ 5s$，$ E = E_0 $。

2. 如图所示，边长为 $ L $ 的正方形均匀导线框以速度 $ v_0 $ 匀速穿过右侧的匀强磁场区域，磁场的宽度为 $ d(d ＞ L) $，匀强磁场的磁感应强度大小为 $ B $。线框的总阻值为 $ R $，当 $ ab $ 边到达磁场左侧边界开始计时。

(1) 请画出甲、乙、丙三阶段的等效电路图；
- 甲阶段（$ab$进入磁场，$cd$未进）：$ab$边切割磁感线，相当于电源，根据右手定则，$a$端电势高，$b$端电势低。设每边电阻为$r=\frac{R}{4}$，等效电路为$ab$为电源（电动势$E = BLv_0$），$bc$、$cd$、$da$为外电路电阻（各为$r$）。
- 乙阶段（线框完全在磁场中）：线框磁通量不变，无感应电流，等效电路为断路（或电流$I = 0$ ）。
- 丙阶段（$ab$出磁场、$cd$在磁场中）：$cd$边切割磁感线，相当于电源，根据右手定则，$d$端电势高，$c$端电势低。等效电路为$cd$为电源（电动势$E = BLv_0$），$da$、$ab$、$bc$为外电路电阻（各为$r$）。
(2) 请补充作出线框中感应电流随时间变化的图像；

图像为：在$0\sim\frac{L}{v_0}$，$I = I_0$（正方向）；$\frac{L}{v_0}\sim\frac{d}{v_0}$，$I = 0$；$\frac{d}{v_0}\sim\frac{d + L}{v_0}$，$I=-I_0$（负方向），其中$I_0=\frac{BLv_0}{R}$。
(3) 请补充作出 $ U_{ab} - t $ 的图像。

图像为：在$0\sim\frac{L}{v_0}$，$U_{ab}=U_0$；$\frac{L}{v_0}\sim\frac{d}{v_0}$，$U_{ab}=0$；$\frac{d}{v_0}\sim\frac{d + L}{v_0}$，$U_{ab}=-\frac{1}{3}U_0$，其中$U_0=\frac{3}{4}BLv_0$。

答案： $(1)$ 画甲、乙、丙三阶段的等效电路图
- 甲阶段（$ab$进入磁场，$cd$未进）：
$ab$边切割磁感线，相当于电源，根据右手定则，$a$端电势高，$b$端电势低。设每边电阻为$r=\frac{R}{4}$，等效电路为$ab$为电源（电动势$E = BLv_0$），$bc$、$cd$、$da$为外电路电阻（各为$r$）。
- 乙阶段（线框完全在磁场中）：
线框磁通量不变，无感应电流，等效电路为断路（或电流$I = 0$ ）。
丙阶段（$ab$出磁场、$cd$在磁场中）：
$cd$边切割磁感线，相当于电源，根据右手定则，$d$端电势高，$c$端电势低。等效电路为$cd$为电源（电动势$E = BLv_0$），$da$、$ab$、$bc$为外电路电阻（各为$r$）。
$(2)$ 作线框中感应电流随时间变化的图像
- 甲阶段：根据$E = BLv_0$，$I=\frac{E}{R}$，可得$I_0=\frac{BLv_0}{R}$，时间$t_1=\frac{L}{v_0}$。
乙阶段：$\Delta\varPhi = 0$，$I = 0$，时间$t_2=\frac{d - L}{v_0}$。
丙阶段：感应电流大小$I_0=\frac{BLv_0}{R}$（方向与甲阶段相反），时间$t_3=\frac{L}{v_0}$。
图像为：在$0\sim\frac{L}{v_0}$，$I = I_0$（正方向）；$\frac{L}{v_0}\sim\frac{d}{v_0}$，$I = 0$；$\frac{d}{v_0}\sim\frac{d + L}{v_0}$，$I=-I_0$（负方向）。
$(3)$ 作$U_{ab}-t$的图像
甲阶段：$U_{ab}$为路端电压，$U_{ab}=\frac{3}{4}E=\frac{3}{4}BLv_0 = U_0$（$E = BLv_0$）。
乙阶段：$I = 0$，$U_{ab}=0$。
丙阶段：$ab$为外电路一部分，$U_{ab}=-\frac{1}{4}E=-\frac{1}{4}BLv_0=- \frac{1}{3}U_0$（$E = BLv_0$）。
图像为：在$0\sim\frac{L}{v_0}$，$U_{ab}=U_0$；$\frac{L}{v_0}\sim\frac{d}{v_0}$，$U_{ab}=0$；$\frac{d}{v_0}\sim\frac{d + L}{v_0}$，$U_{ab}=-\frac{1}{3}U_0$。
由于无法直接绘制图像，你可以根据上述分析，按照横坐标为时间$t$（$0$、$\frac{L}{v_0}$、$\frac{d}{v_0}$、$\frac{d + L}{v_0}$等刻度），纵坐标为$I$（对应$I_0$、$0$、$-I_0$） 绘制$I - t$图像；按照横坐标为时间$t$（$0$、$\frac{L}{v_0}$、$\frac{d}{v_0}$、$\frac{d + L}{v_0}$等刻度），纵坐标为$U_{ab}$（对应$U_0$、$0$、$-\frac{1}{3}U_0$）绘制$U_{ab}-t$图像。