《2025年步步高精准讲练物理选择性必修第二册》

例 4
如图所示，建立空间直角坐标系 $ O - xyz $，空间中存在范围足够大、大小可调节的沿 $ x $ 轴正方向的匀强磁场和匀强电场。过 $ x $ 轴上 $ C(2L, 0, 0) $ 点有平行于 $ yOz $ 平面的无限大平面光屏，质量为 $ m $、电荷量为 $ q(q ＞ 0) $ 的粒子从坐标原点 $ O $ 沿 $ z $ 轴正方向以初速度 $ v_0 $ 射入该空间中，不计粒子重力。
(1) 若空间内只存在如图所示的电场，粒子打在光屏上的 $ P $ 点，$ CP = 4L $，求此电场的电场强度 $ E_0 $ 的大小；
(2) 若空间内只存在如图所示的磁场，粒子经过一段时间到达坐标为 $ (0, -L, \sqrt{3}L) $ 的位置，求此磁场的磁感应强度 $ B_0 $ 的大小；
(3) 若电场和磁场同时存在，已知磁场磁感应强度为 $ B $，粒子第一次回到 $ x $ 轴上并经过 $ A(L, 0, 0) $ 点，求电场强度 $ E $ 的大小；
(4) 若空间中电磁场与 (3) 相同，粒子在 $ O $ 点时的速度 $ v_0 $ 在 $ xOz $ 平面内并与 $ x $ 轴正方向夹角为 $ 60° $，且 $ v_0 = \dfrac{qBL}{\pi m} $，求粒子打到光屏上时的位置坐标。

拓展
若撤去光屏，在 $ yOz $ 平面右侧空间中的电磁场与 (3) 相同，粒子从 $ O $ 点沿 $ z $ 轴正方向以初速度 $ v_0 $ 射入空间中，则粒子第 1 次、第 2 次、第 3 次……到达 $ x $ 轴的位置坐标（只用 $ L $ 表示）依次为 __________________。

答案：

(1)$\frac{mv_{0}^{2}}{4qL}$　
(2)$\frac{mv_{0}}{2qL}$　
(3)$\frac{qB^{2}L}{2\pi^{2}m}$　
(4)$(2L,0,0)$
解析　
(1)粒子做类平抛运动，沿$z$轴正方向$4L = v_{0}t_{0}$，沿$x$轴正方向$2L = \frac{1}{2}a_{0}t_{0}^{2}$，$a_{0} = \frac{qE_{0}}{m}$，解得$E_{0} = \frac{mv_{0}^{2}}{4qL}$。
(2)如图，由几何关系有$R^{2} = (\sqrt{3}L)^{2} + (R - L)^{2}$，

可得$R = 2L$，由洛伦兹力提供向心力有$qv_{0}B_{0} = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$，解得$B_{0} = \frac{mv_{0}}{2qL}$。
(3)沿$x$轴正方向由静止做匀加速直线运动$L = \frac{1}{2}at^{2} = \frac{qEt^{2}}{2m}$，$yOz$平面内做匀速圆周运动，第一次回到$x$轴，则$t = \frac{2\pi m}{qB}$，可得$E = \frac{qB^{2}L}{2\pi^{2}m}$。
(4)粒子在沿$x$轴正方向做匀加速直线运动$2L = v_{0x}t' + \frac{1}{2}at'^{2}$，$a = \frac{qE}{m}$，$v_{0x} = v_{0}\cos60^{\circ}$，可得$t' = \frac{2\pi m}{qB}$，故粒子恰好在磁场中完成一个圆周，则打在光屏上时的位置坐标为$(2L,0,0)$。
拓展　$L$、$4L$、$9L$、$·s$
解析　粒子沿$x$轴正方向由静止开始做匀加速直线运动，$x_1:x_2:x_3:·s = 1:4:9:·s$，故到达$x$轴的位置坐标依次为$L$、$4L$、$9L$、$·s$。