《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BM$是$AC$边上的中线，点$D$，$E$分别在边$AC$和$BC$上，$DB = DE$，$EF\perp AC$于点$F$，给出以下结论：
①$\angle DBM = \angle CDE$；②$S_{\triangle BDE} ＜ S_{四边形BMFE}$；③$CD· EN = BN· BD$；④$DF = \frac{1}{2}AC$。
其中正确结论的个数是(C)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 7.C　解析:设∠EDC = x°,则∠DEF = (90 - x)°.
∵BD = DE,
∴∠DBE = ∠DEB = ∠EDC + ∠C = (x + 45)°,
∴∠DBM = ∠DBE - ∠MBE = (45 + x)° - 45° = x°,
∴∠DBM = ∠CDE.故①正确.
　在△BDM和△DEF中，
　$\begin{cases}∠DBM = ∠EDF,\\∠DMB = ∠EFD,\\BD = DE,\end{cases}$
∴△BDM≌△DEF,
∴$S_{△BDM} = S_{△DEF}$.
∴$S_{△BDM} - S_{△DMN} = S_{△DEF} - S_{△DMN}$,
　即$S_{△DBN} = S_{四边形MNEF}$.
∴$S_{△DBN} + S_{△BNE} = S_{四边形MNEF} + S_{△BNE}$,
∴$S_{△BDE} = S_{四边形BMFE}$.故②错误.
∵∠BNE = ∠DBM + ∠BDN,∠BDM = ∠BDE + ∠EDF,∠EDF = ∠DBM,
∴∠BNE = ∠BDM.
　又
∵∠C = ∠NBE = 45°,
∴△DBC∽△NEB,
∴$\frac{CD}{BD} = \frac{BN}{EN}$,
∴CD·EN = BN·BD.故③正确.
∵△BDM≌△DEF,
∴BM = DF;
∵∠ABC = 90°,M是AC的中点，
∴BM = $\frac{1}{2}$AC.
∴DF = $\frac{1}{2}$AC.故④正确.

8. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 10$，点$E$、$F$在$AD$边上，$BF$和$CE$交于点$G$，若$EF = \frac{1}{2}AD$，则图中阴影部分的面积为(C)

A.$25$
B.$30$
C.$35$
D.$40$

答案：
8.C　解析:过点G作GN⊥AD于N,延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC,AD//BC.
∵EF = $\frac{1}{2}$AD,
∴EF = $\frac{1}{2}$BC,
∵AD//BC,NG⊥AD,
∴△EFG∽△CBG,GM⊥BC,
∴GN:GM = EF:BC = 1:2,
　又
∵MN = AB = 6,
∴GN = 2,GM = 4,
∴$S_{△BCG} = \frac{1}{2}×10×4 = 20$,
∴$S_{△EFG} = \frac{1}{2}×5×2 = 5$,$S_{矩形ABCD} = 6×10 = 60$,
∴$S_{阴影} = 60 - 20 - 5 = 35$.
　故选C.
　　　　　　　　　　　　　　　　

9. 如图，平行于$BC$的直线$DE$把$\triangle ABC$分成面积相等的两部分，则$\frac{AD}{AB} =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　解析:
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = \frac{1}{2}$,
∴$\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

10. 如果$\frac{a - b}{a} = \frac{1}{2}$，那么$\frac{b}{a} =$$\frac{1}{2}$。

答案： 10.$\frac{1}{2}$　解析:由$\frac{a - b}{a} = \frac{1}{2}$,得2(a - b) = a,则2a - 2b = a,
∴a = 2b,
∴$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$.

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AC = 3$，点$D$在边$AB$上，且$\angle ACD = \angle B$，则线段$AD$的长为$\frac{9}{5}$。

答案： 11.$\frac{9}{5}$　解析:
∵∠A = ∠A,∠ACD = ∠B,
∴△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$.
　又AB = 5,AC = 3,
∴$\frac{5}{3} = \frac{3}{AD}$,
∴AD = $\frac{9}{5}$.

12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$AD = 4$，点$P$是边$AB$上一点，若$\triangle APD$与$\triangle BPC$相似，则满足条件的点$P$有3个。

答案： 12.3　解析:设AP = x.
∵AB = 10,
∴PB = 10 - x.①当△APD ∽△BCP时，$\frac{AD}{BP} = \frac{AP}{BC}$，即$\frac{4}{10 - x} = \frac{x}{4}$,整理，得$x^2 - 10x + 16 = 0$,解得$x_1 = 2$,$x_2 = 8$.②当△APD∽△BPC时,$\frac{AD}{BC} = \frac{AP}{BP}$,即$\frac{4}{4} = \frac{x}{10 - x}$,解得x = 5.所以当AP = 2,5,8时，△APD 与△BPC相似，即满足条件的点P有3个.

13. 如图，比例尺是一种画图工具，它由长度相等的两脚$AD$和$BC$交叉构成。利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短。如果把比例尺的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度为$3$的地方(即同时使$OA = 3OD$，$OB = 3OC$)，然后张开两脚。若此时$CD = 2$，则$AB =$6。

答案： 13.6