《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

15. （14分）一个不透明的箱子里装有$3$个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于$0.75$左右.
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出$1$个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出$1$个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

答案：
解:
(1)$\because$通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右,
$\therefore$估计摸到红球的概率为0.75,设白球有$x$个,
依题意得$\frac{3}{3+x}=0.75$,
解得$x=1$.
经检验,$x=1$是原方程的解,且符合题意,
所以估计箱子里有1个白球.
(2)列表如下：
　　　　　　　红　　　　红2　　　　红3　　　　白
　　　红(红,红)(红,红2)(红,红)　(红,白))
　　　红2(红2,红)(红2,红2)(红,红)　(红2,白)
　　　红(红,红)(红,红)(红,红)　(红3,白))
　　　白(白,红)　(白,红22)　(白,红)　　(白,白))
或画树状图如下:

$\because$一共有16种等可能的结果,两次摸出的小球颜色恰好不同的有$(红_{1},白)、(红_{2},白)、(红_{3},白)、(白,红_{1})、(白,红_{2})、(白,红_{3})$,共6种,
$\therefore$两次摸出的小球恰好颜色不同的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.

16. （14分）如图，在$6×5$的正方形网格中（每个小正方形的边长均为$1$），以格点为顶点的三角形称为网格三角形，请通过画图分析探究下列问题：
（1）请在图中画出以$AB$为边且面积为$2$的一个网格三角形.
（2）任取该网格中的一点$N$，求以$A$，$B$，$N$为顶点的三角形面积为$2$的概率.
（3）任取该网格中的一点$M$，求以$A$，$B$，$M$为顶点的三角形为等腰三角形的概率.

答案：
解:
(1)如图所示(共9个,这是其中一个).

(2)由分析可知,只要$N$不在$AB$上或者$AB$的延长线上,$A$,$B$,$N$都可以构成三角形,共有$6×7-6=36$(个),
又由
(1)知,以$A$,$B$,$N$为顶点的面积为2的三角形共有9个,
$\therefore P$(以$A$,$B$,$N$为顶点的三角形面积为2)$=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.
(3)$\because$以$A$,$B$,$M$为顶点的三角形中为等腰三角形的共有8个,
$\therefore P$(以$A$,$B$,$M$为顶点的三角形为等腰三角形)$=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

17. （14分）体育场下周将举办明星演唱会，小莉和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为$1$，$2$，$3$，$5$的四张牌给小莉，将数字为$4$，$6$，$7$，$8$的四张牌留给自己，并按如下规则进行游戏：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，那么小莉去；如果和为奇数，那么哥哥去.
（1）请用画树状图或列表的方法求小莉去看演唱会的概率.
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？请说明理由.

答案： 解:
(1)所有可能的结果如下表：
　　　　　小莉
　　　和　　　　　　1　　　　2　　　　3　　　　5
　　哥哥
　　　　4　　　　　5　　　　6　　　　7　　　　9
　　　　6　　　　　7　　　　8　　　　9　　　　11
　　　　7　　　　　8　　　　9　　　　10　　　12
　　　　8　　　　　9　　　　10　　　11　　　13
由表可知,一共有16种结果,每种结果出现的可能性相同,其中偶数一共有6个,
故$P$(小莉去看演唱会)$=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.
(2)不公平.理由:由
(1)列表的结果可知:小莉去的概率为$\frac{3}{8}$,哥哥去的概率为$\frac{5}{8}$,所以游戏不公平,对哥哥有利.