《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

19. (14 分)某商贸公司购进某种商品的成本为 $ 20 $ 元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来 $ 40 $ 天的销售单价 $ y $(元/kg)与时间 $ x $(天)之间的函数关系式为
$ y = \begin{cases} 0.25x + 30(1 \leq x \leq 20), \\ 35(20 ＜ x \leq 40), \end{cases} $
$ x $ 为整数，且日销量 $ m $(kg)与时间 $ x $(天)之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

(1)$ m $ 与 $ x $ 的函数关系为m=-2x+144(x≥1)。
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前 $ 20 $ 天中，公司决定每销售 $ 1kg $ 商品就捐赠 $ n $ 元利润($ n ＜ 4 $)给当地福利院，之后发现：在前 $ 20 $ 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $ x $ 的增大而增大，求 $ n $ 的取值范围。

答案： 19.解：
(1)设m=kx+b，将(1,142)，(3,138)代入可得
$\begin{cases}142 = k + b, \\138 = 3k + b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2, \\b = 144,\end{cases}$
∴m=-2x+144(x≥1).
(2)当1≤x≤20时，销售利润W=my-20m=(-2x+144)·(0.25x+30-20)=-$\frac{1}{2}$(x-16)²+1568，
当x=16时，销售利润最大，为1568元；
当20＜x≤40时，销售利润W=my-20m=-30x+2160，
当x=21时，销售利润最大，为1530元.
综上所述，第16天销售利润最大，为1568元.
(3)在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
W'=my-20m-nm=(0.25x+30-20-n)(-2x+144)=-$\frac{1}{2}$x²+(16+2n)x+1440-144n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴在直线x=19.5右侧，
∴16+2n＞19.5，
∴n＞1.75，又
∵n＜4，
∴n的取值范围是1.75＜n＜4.

20. （16 分）如图①，已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(1, 0) $、点 $ C $，与 $ y $ 轴交于点 $ B(0, 3) $，对称轴是直线 $ x = -1 $，顶点是 $ M $。
（1）求二次函数的解析式。
（2）点 $ P $ 是抛物线上的动点，点 $ D $ 是对称轴上的动点，当以 $ P $、$ D $、$ B $、$ C $ 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $ D $ 的坐标。
（3）如图②，过原点的直线 $ l $ 平分 $ \triangle MBC $ 的面积，求直线 $ l $ 的解析式。

答案：
20.解：
(1)
∵二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(1,0)、点C，对称轴为直线x=-1，
∴点C的坐标为(-3,0).
设二次函数解析式为y=a(x-1)(x+3)，把点B(0,3)代入得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x²-2x+3.
(2)如图①.
当D₁(-1,0)，P₁(-2,3)时，
∵P₁B=CD₁，P₁B//CD₁，
∴四边形CD₁BP₁为平行四边形.
当BC//D₂P₂，BC=P₂D₂时，四边形BCP₂D₂是平行四边形.
∵BO=CO=3，
∴P₂D₂=BC=3$\sqrt{2}$.
设D₂(-1,m)，则P₂(-4,m-3)，把P₂的坐标代入抛物线的解析式，得m-3=-16+8+3，所以m=-2，
∴D₂(-1,-2).
当D₃P₃//BC，D₃P₃=BC时，四边形BCD₃P₃是平行四边形.
设D₃(-1,n)，则P₃(2,n+3).
把点P₃的坐标代入抛物线的解析式，得n+3=-4-4+3，所以n=-8，
∴D₃(-1,-8).
综上所述，点D的坐标为(-1,0)或(-1,-2)或(-1,-8).
(3)连接OM，如图②，由二次函数解析式知，点M的坐标为(-1,4).
∵C(-3,0)，B(0,3)，
∴S△MBC=S△MCO+S△MBO-S△COB=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×3×3=3.
设直线l的解析式为y=kx(k≠0).
易求得直线BC的解析式为y=x+3，直线CM的解析式为y=2x+6.
由$\begin{cases}y = kx, \\y = x + 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = \frac{3}{k - 1}, \\y = \frac{3k}{k - 1}\end{cases}$
∴点N($\frac{3}{k - 1}$, $\frac{3k}{k - 1}$).
由$\begin{cases}y = kx, \\y = 2x + 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = \frac{6}{k - 2}, \\y = \frac{6k}{k - 2}\end{cases}$
∴点Q($\frac{6}{k - 2}$, $\frac{6k}{k - 2}$).
∵S△CNQ=$\frac{3}{2}$，
∴S△COQ-S△CON=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×3×$\frac{6k}{k - 2}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3k}{k - 1}$=$\frac{3}{2}$，
∴k=-2(k=$\frac{1}{2}$不合题意，舍去)，
∴直线l的解析式为y=-2x.