《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

17. (14 分)如图，将 $\triangle ABC$ 在网格中(网格中每个小正方形的边长均为 $1$)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到 $\triangle A_3B_3C_3$。
(1)$\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 的相似比等于 $\frac{1}{2}$。
(2)在网格中画出 $\triangle A_1B_1C_1$ 关于 $y$ 轴的轴对称图形 $\triangle A_2B_2C_2$。
(3)请写出 $\triangle A_3B_3C_3$ 是由 $\triangle A_2B_2C_2$ 怎样平移得到的。
(4)设点 $P(x, y)$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，则 $\triangle A_3B_3C_3$ 内点 $P$ 的对应点的坐标为 (-2x - 2,2y + 2)。

答案：
17.解：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)如图所示。

(3)△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的。
(4)(-2x - 2,2y + 2)

18. （16 分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $E$ 在边 $BC$ 上移动（点 $E$ 不与点 $B$，$C$ 重合），满足 $\angle DEF = \angle B$，且点 $D$，$F$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上。
（1）求证：$\triangle BDE \backsim \triangle CEF$；
（2）当点 $E$ 移动到 $BC$ 的中点时，求证：$FE$ 平分 $\angle DFC$。

答案： 18.证明：
(1)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C。
∵∠BDE = 180° - ∠B - ∠DEB，
∠CEF = 180° - ∠DEF - ∠DEB，∠DEF = ∠B，
∴∠BDE = ∠CEF，
∴△BDE∽△CEF。
(2)
∵△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
∵点E是BC的中点，
∴BE = CE，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
又∠DEF = ∠B = ∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE = ∠CFE，
∴FE平分∠DFC。

19. （16 分）如图，已知抛物线经过点 $A(-1, 0)$，$B(4, 0)$，$C(0, 2)$ 三点，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，设点 $P$ 的坐标为 $(m, 0)$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交抛物线于点 $Q$，交直线 $BD$ 于点 $M$。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）点 $P$ 在线段 $AB$ 上运动的过程中，是否存在点 $Q$，使得以点 $B$，$Q$，$M$ 为顶点的三角形与 $\triangle BOD$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
19.解：
(1)
∵抛物线过点A(-1,0)，B(4,0)，
∴可设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)(x - 4)(a≠0)$。
将点C(0,2)的坐标代入，得-4a = 2，解得$a = -\frac{1}{2}$，
则抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}(x + 1)(x - 4)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$。
(2)存在。如图所示。

∵QM//OD，
∴∠ODB = ∠QMB。
分以下两种情况：
当∠DOB = ∠MBQ = 90°时，△DOB∽△MBQ，
则$\frac{DO}{OB}=\frac{MB}{BQ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
由$\frac{4 - m}{-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m + 2}=\frac{1}{2}$，解得$m_{1}=3$，$m_{2}=4$。
当m = 4时，点P，Q，M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m = 3，此时点Q的坐标为(3,2)。
当∠BQM′ = 90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m = -1，点Q的坐标为(-1,0)。
综上，当点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时，以点B，Q，M为顶点的三角形与△BOD相似。