《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

18. （13 分）如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，以 $ AC $ 为直径的 $ \odot O $ 与 $ AB $ 边交于点 $ D $，过点 $ D $ 作 $ \odot O $ 的切线，交 $ BC $ 于点 $ E $。
（1）求证：$ EB = EC $。
（2）若以点 $ O $，$ D $，$ E $，$ C $ 为顶点的四边形是正方形，试判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。

答案：
18.
(1)证明：如图，连接$OD$.

$\because AC$为$\odot O$的直径，$\angle ACB = 90^{\circ},\therefore CB$是$\odot O$的切线.
又$\because DE$切$\odot O$于点$D$，
$\therefore ED = EC,\angle ODE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ODA + \angle EDB = 90^{\circ}$.
$\because OA = OD,\therefore \angle ODA = \angle OAD$.
又$\because \angle OAD + \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDB = \angle B,\therefore ED = EB$，
$\therefore EB = EC$.
(2)解：$\triangle ABC$为等腰直角三角形.理由如下：
$\because$四边形$ODEC$为正方形，$\therefore OC = CE$.
又$\because OC = \frac{1}{2}AC,CE = EB = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore AC = BC,\therefore \triangle ACB$为等腰直角三角形.

19. （13 分）$ \triangle ABC $ 的内切圆 $ I $ 和边 $ BC $，$ CA $，$ AB $ 分别相切于点 $ D $，$ E $，$ F $。
（1）如图①，若 $ \angle B = 60^{\circ} $，$ \angle C = 70^{\circ} $，求 $ \angle EDF $ 的度数；
（2）如图②，若 $ BC = 3 $，$ CA = 4 $，$ AB = 5 $，求 $ \triangle ABC $ 内切圆 $ I $ 的半径。

答案：
19. 解：
(1)如图①，连接$FI,EI.\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 50^{\circ}$，
$\because$内切圆$I$和边$CA$，$AB$分别相切于点$E$，$F$，
$\therefore \angle AFI = \angle AEI = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle FIE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$，
$\therefore$由圆周角定理得$\angle EDF = \frac{1}{2}\angle FIE = 65^{\circ}$.


(2)连接$ID,IE$，如图②.
$\because BC^{2} + AC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25,AB^{2} = 25$，
$\therefore BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$DCEI$为正方形，
$\therefore ID = CD = CE = IE$，
$\because BD = BF,AE = AF$，
$\therefore CD + CE = BC + AC - BD - AE = BC + AC - AB = 2$，
$\therefore \triangle ABC$内切圆的半径为$1$.

20. （15 分）如图①，四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $，$ AD $ 为直径，过点 $ C $ 作 $ CE \perp AB $ 于点 $ E $，连接 $ AC $。
（1）求证：$ \angle CAD = \angle ECB $。
（2）若 $ CE $ 是 $ \odot O $ 的切线，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，连接 $ OC $，如图②。
①请判断四边形 $ ABCO $ 的形状，并说明理由；
②当 $ AB = 2 $ 时，求 $ AD $，$ AC $ 与 $ \overset{\frown}{CD} $ 围成阴影部分的面积。

答案：
20.
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore \angle D + \angle ABC = 180^{\circ}$，
$\because \angle EBC + \angle ABC = 180^{\circ},\therefore \angle D = \angle EBC$，
$\because AD$为$\odot O$直径，$\therefore \angle ACD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle D + \angle CAD = 90^{\circ}$，
$\because CE \perp AB,\therefore \angle ECB + \angle EBC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD = \angle ECB$.
(2)解：①四边形$ABCO$是菱形.理由如下：
$\because CE$是$\odot O$的切线，$\therefore OC \perp EC,\because AB \perp EC$，
$\therefore \angle OCE = \angle E = 90^{\circ},\therefore \angle OCE + \angle E = 180^{\circ}$，
$\therefore OC// AE,\therefore \angle ACO = \angle BAC$，
$\because OA = OC,\therefore \angle ACO = \angle CAD,\therefore \angle BAC = \angle CAD$，
$\because \angle CAD = \angle ECB,\angle CAD = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle EBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ},\angle BAO = 2\angle CAD = 60^{\circ}$，
$\therefore BC// AO,\therefore$四边形$ABCO$是平行四边形，
$\because OA = OC,\therefore$四边形$ABCO$是菱形.
②$\because$四边形$ABCO$是菱形，$\therefore AO = AB = 2,AD = 4$，
$\because \angle CAD = 30^{\circ},\therefore CD = \frac{1}{2}AD = 2,AC = 2\sqrt{3}$，过点$C$作$CF \perp AD$于点$F$，

$\therefore CF = \sqrt{3},\therefore S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$，
$\because OC// AE,\therefore \angle DOC = \angle BAO = 60^{\circ}$，
$\therefore S_{扇形OCD} = \frac{60\pi × 2^{2}}{360} = \frac{2}{3}\pi$，
$\therefore$阴影部分的面积为$\sqrt{3} + \frac{2}{3}\pi$.