《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

15. （13 分）已知反比例函数$ y = \frac{k - 1}{x} $（$ k $为常数，$ k \neq 1 $）.
（1）若点$ A(1, 2) $在这个函数的图象上，求$ k $的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，$ y $随$ x $的增大而增大，求$ k $的取值范围；
（3）若$ k = 13 $，试判断点$ B(3, 4) $，$ C(2, 5) $是否在这个函数的图象上.

答案： 15.解:
(1)
∵点$A(1,2)$在这个函数的图象上，
∴$k - 1 = 1 × 2$，解得$k = 3$.
(2)
∵在函数$y = \frac{k - 1}{x}$图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ 1$.
(3)
∵$k = 13$，
∴$k - 1 = 12$，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$.
　将点$B$的坐标代入$y = \frac{12}{x}$，可得点$B$的坐标满足函数关系式，
∴点$B$在函数$y = \frac{12}{x}$的图象上；
　将点$C$的坐标代入$y = \frac{12}{x}$，
∵$5 \neq \frac{12}{2}$，
∴点$C$不在函数$y = \frac{12}{x}$的图象上.

16. （14 分）如图，$ □ ABCD $的对角线交于点$ O $，点$ E $在边$ BC $的延长线上，且$ OE = OB $，连接$ DE $.
（1）求证：$ \triangle BDE $是直角三角形；
（2）如果$ OE \perp CD $，试判断$ \triangle BDE $与$ \triangle DCE $是否相似，并说明理由.

答案： 16.
(1)证明:
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$.
∵$OE = OB$，
∴$\angle OBE = \angle OEB$，$OE = OD$，
∴$\angle ODE = \angle OED$.
∵$\angle OBE + \angle OEB + \angle ODE + \angle OED = 180^{\circ}$，
∴$\angle BED = \angle OEB + \angle OED = 90^{\circ}$，
∴$DE \bot BE$，即$\triangle BDE$是直角三角形.
(2)解:$\triangle BDE$与$\triangle DCE$相似.理由如下:
∵$OE \bot CD$，
∴$\angle CEO + \angle DCE = \angle CDE + \angle DCE = 90^{\circ}$.
∴$\angle CEO = \angle CDE$;
　又
∵$\angle OBE = \angle OEB$，
∴$\angle DBE = \angle CDE$.
　又
∵$\angle BED = \angle DEC = 90^{\circ}$，
∴$\triangle BDE \sim \triangle DCE$.

17. （14 分）如图，已知$ D $是$ \triangle ABC $的边$ AB $上一点，$ DE // BC $，交边$ AC $于点$ E $，延长$ DE $至点$ F $，使$ EF = DE $，连接$ BF $，交边$ AC $于点$ G $，连接$ CF $.
（1）求证：$ \frac{AE}{AC} = \frac{EG}{CG} $；
（2）如果$ CF^2 = FG · FB $，求证：$ CG · CE = BC · DE $.

答案： 17.证明:
(1)
∵$DE // BC$，
∴$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，$\triangle EFG \sim \triangle CBG$，
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$，$\frac{EF}{BC} = \frac{EG}{CG}$.
　又
∵$DE = EF$，
∴$\frac{DE}{BC} = \frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{EG}{CG}$.
(2)
∵$CF^2 = FG · FB$，
∴$\frac{CF}{FG} = \frac{FB}{CF}$.
　又
∵$\angle CFG = \angle BFC$，
∴$\triangle CFG \sim \triangle BFC$，
∴$\frac{CG}{BC} = \frac{FG}{FC}$，$\angle FCE = \angle CBF$;
∵$DF // BC$，
∴$\angle EFG = \angle CBF$，
∴$\angle FCE = \angle EFG$.
　又
∵$\angle FEG = \angle CEF$，
∴$\triangle EFG \sim \triangle ECF$，
∴$\frac{EF}{EC} = \frac{FG}{FC} = \frac{DE}{EC}$，
∴$\frac{CG}{BC} = \frac{DE}{EC}$，即$CG · CE = BC · DE$.