《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

21. （10分）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，顶点为$M$的抛物线$y = ax^{2}+bx(a\gt0)$经过点$A$和$x$轴正半轴上的点$B$，$AO = OB = 2$，$\angle AOB = 120^{\circ}$。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接$OM$，求$\angle AOM$的大小。

答案： 21.解:
(1)过点A作AE⊥y轴于点E.
∵∠AOB = 120°，
∴∠AOE = 30°.
∵AO = OB = 2，
∴AE = 1，OE = $\sqrt{3}$，B点坐标为(2,0)，
∴A点坐标为(-1,$\sqrt{3}$).
将A，B两点坐标分别代入y = ax² + bx，得$\begin{cases}a - b = \sqrt{3},\\4a + 2b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{\sqrt{3}}{3},\\b = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x² - $\frac{2\sqrt{3}}{3}$x.
(2)过点M作MF⊥OB于点F.
∵y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x² - $\frac{2\sqrt{3}}{3}$x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$(x² - 2x) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$(x² - 2x + 1 - 1) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$(x - 1)² - $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M点坐标为(1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$)，
∴OM = $\sqrt{OF^{2}+FM^{2}}$ = $\sqrt{1^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ = 2FM，
∴∠FOM = 30°，
∴∠AOM = 30° + 120° = 150°.