《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

15. （8分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，$\triangle ABC$ 的顶点均在格点（网格线的交点）上.
（1）将 $\triangle ABC$ 向右平移5个单位得到 $\triangle A_1B_1C_1$，画出 $\triangle A_1B_1C_1$；
（2）将（1）中的 $\triangle A_1B_1C_1$ 绕点 $C_1$ 逆时针旋转 $90°$ 得到 $\triangle A_2B_2C_1$，画出 $\triangle A_2B_2C_1$.

答案：
15.解:
(1)如图所示，△A₁B₁C₁为所求；
(2)如图所示，△A₂B₂C₁为所求.

16. （9分）如图，已知矩形 $ABCD$ 各顶点的坐标分别为 $A(0,4)$、$B(2,0)$、$C(8,3)$、$D(6,7)$。直线 $y = kx + 1$ 平分矩形的面积，求 $k$ 的值.

答案：
16.解:设点P为矩形ABCD的对称中心，则点P的坐标为(4,7/2).

∵直线y=kx+1平分矩形的面积,
∴点P在直线y=kx+1上,
将点P的坐标代入,得4k+1=7/2,解得k=5/8.

17. （11分）如图，已知 $Rt\triangle ABC$，$\angle ABC = 90°$。先把 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90°$ 至 $\triangle DBE$ 后，再把 $\triangle ABC$ 沿射线 $BE$ 平移至 $\triangle FEG$，线段 $DE$、$FG$ 相交于点 $H$.
（1）判断线段 $DE$、$FG$ 的位置关系，并说明理由.
（2）连接 $CG$，求证：四边形 $CBEG$ 是正方形.

答案： 17.
(1)解:FG⊥ED.理由如下:
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE,
∴∠DEB=∠ACB.
∵把△ABC沿射线BE平移至△FEG,
∴∠GFE=∠A.
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠DEB+∠GFE=90°,
∴∠FHE=90°,
∴FG⊥ED.
(2)证明:由题意知∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG//EB,
∴∠BCG+∠CBE=180°,
∴∠BCG=90°,
∴四边形BCGE是矩形.
又易知CB=BE,
∴四边形CBEG是正方形.

18. （11分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，$AC = BC$，点 $D$ 在边 $AB$ 上，连接 $CD$，将线段 $CD$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90°$ 至 $CE$ 的位置，连接 $AE$。求证：$AB \perp AE$.

答案： 18.解:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°,
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置,
∴CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACE,
∵BC=AC,
∴△CBD≌△CAE,
∴∠CAE=∠CBD=45°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,
∴AB⊥AE.