《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

16. （11 分）已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $。
（1）用配方法求其图象的顶点 $ C $ 的坐标，并描述函数值随自变量的增减而变化的情况。
（2）求函数图象与 $ x $ 轴的交点 $ A $、$ B $ 的坐标（$ A $ 在 $ B $ 的左侧）及 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 16.解：
(1)y=x²-4x+3=x²-4x+4-4+3=(x-2)²-1，
∴函数图象的顶点C的坐标是(2,-1).
当x＜2时，y随x的增大而减小；
当x＞2时，y随x的增大而增大.
(2)解方程x²-4x+3=0，得x₁=3，x₂=1，
∴A点坐标是(1,0)，B点坐标是(3,0).
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1=1.

17. （12 分）已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3a + 2 $（$ a $ 为常数）。
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在 $ x \leq 4 $ 的部分与一次函数 $ y = 2x - 1 $ 的图象有两个交点，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 17.解：
(1)
∵二次函数y=x²-4x+3a+2=(x-2)²+3a-2，
∴该二次函数的性质有：①函数图象开口向上；②有最小值3a-2；③函数图象对称轴为直线x=2(答案不唯一).
(2)联立二次函数与一次函数解析式为$\begin{cases}y = x² - 4x + 3a + 2, \\y = 2x - 1,\end{cases}$
得x²-4x+3a+2=2x-1，整理得x²-6x+3a+3=0，
∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，
∴方程x²-6x+3a+3=0在x≤4时有两个不相等的实数根，即函数y=x²-6x+3a+3的图象与x轴的两个交点的横坐标均满足x≤4，则可得$\begin{cases}(-6)² - 4×1×(3a + 3) ＞ 0, \\16 - 24 + 3a + 3 ≥ 0,\end{cases}$
解得$\frac{5}{3}$≤a＜2，
∴a的取值范围为$\frac{5}{3}$≤a＜2.

18. （13 分）已知抛物线 $ y = x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 7 $ 与 $ x $ 轴有两个不同的交点。
（1）求 $ m $ 的取值范围。
（2）若抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点，$ A $ 点坐标为 $ (3, 0) $，求 $ B $ 点的坐标。

答案： 18.解：
(1)
∵抛物线y=x²-2(m-1)x+m²-7与x轴有两个不同的交点，
∴4(m-1)²-4(m²-7)＞0，解得m＜4.
(2)把(3,0)代入解析式，得9-6(m-1)+m²-7=0，即m²-6m+8=0，解得m₁=2，m₂=4.
∵m＜4，
∴m=2，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3.
令y=0，则x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1.
∴B点坐标为(-1,0).