《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

16. （12分）已知函数 $ y = (m + 2)x^{m^2 + m - 4} $ 是关于 $ x $ 的二次函数.
（1）求满足条件的 $ m $ 的值.
（2）当 $ m $ 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，此时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
（3）当 $ m $ 为何值时，这个函数有最大值？最大值是多少？此时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案： 16.解:
(1)
∵$y=(m + 2)x^{m²+m−4}$为二次函数，
∴$\begin{cases}m²+m−4 = 2 \\ m + 2≠0\end{cases}$，解得$m = 2$或$m = −3$.
∴当$m = 2$或$m = −3$时，该函数为二次函数.
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
∴$m + 2＞0$，解得$m＞−2$.
∴当$m = 2$时，抛物线有最低点，最低点为$(0,0)$.此时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(3)若二次函数有最大值，则抛物线开口向下，即$m + 2＜0$，解得$m＜−2$.
∴当$m = −3$时，这个函数有最大值，最大值是$0$.此时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.

17. （12分）在网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，$ AC = 3 $，$ BC = 6 $.
（1）试作出 $ \triangle ABC $ 以 $ A $ 为旋转中心、沿顺时针方向旋转 $ 90° $ 后的 $ \triangle AB'C' $；
（2）若点 $ B $ 的坐标为 $ (-4,5) $，试建立合适的平面直角坐标系，并写出 $ A $、$ C $ 两点的坐标；
（3）作出与 $ \triangle ABC $ 关于原点对称的 $ \triangle A''B''C'' $，并写出 $ A'' $、$ B'' $、$ C'' $ 三点的坐标.

答案：
17.解:
(1)如图.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，点$A(−1,−1)$，点$C(−4,−1)$.
(3)如图，$A''(1,1)$，$B''(4,−5)$，$C''(4,1)$.

18. （13分）在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90° $，$ \angle ACB = 30° $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转一定的角度 $ \alpha $ 得到 $ \triangle DEC $，点 $ A $，$ B $ 的对应点分别是点 $ D $，$ E $.
（1）当点 $ E $ 恰好在 $ AC $ 上时，如图①，求 $ \angle ADE $ 的大小.
（2）若 $ \alpha = 60° $，点 $ F $ 是边 $ AC $ 的中点，连接 $ BF $，$ DF $，$ BE $，如图②，求证：四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.

答案： 18.
(1)解:
∵$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转α得到$\triangle DEC$，点$E$恰好在$AC$上，
∴$CA = CD$，$\angle ECD = \angle BCA = 30°$，$\angle DEC = \angle ABC = 90°$.
∵$CA = CD$，
∴$\angle CAD = \angle CDA = \frac{1}{2}×(180°−30°)=75°$，
∴$\angle ADE = 90°−75° = 15°$.
(2)证明:连接$AD$，
∵点$F$是边$AC$的中点，
∴$BF = \frac{1}{2}AC$.
∵\angle ACB = 30°$，∴$AB = \frac{1}{2}AC$，∴$BF = AB$.∵\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转60°得到\triangle DEC$，∴\angle BCE = \angle ACD = 60°$，$CB = CE$，$DE = AB$，
∴$DE = BF$，$\triangle ACD$和$\triangle BCE$均为等边三角形，
∴$BE = CB$.
∵点$F$为$\triangle ACD$的边$AC$的中点，
∴$DF⊥AC$，易证$\triangle CFD≌\triangle ABC$，
∴$DF = BC$，
∴$DF = BE$，又$BF = DE$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形.