《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

16. （11 分）如图，一位篮球运动员投篮后，球沿抛物线 $ y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{7}{2} $ 运动，然后准确落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的高度为 $ 3.05m $。
（1）求球在空中的最大高度。
（2）如果该运动员跳起投篮，球出手时离地面的高度为 $ 2.25m $，要想投入篮筐，那么他距离篮筐中心的水平距离应是多少？

答案： 16.解：
(1)
∵抛物线y=-$\frac{1}{5}$x^{2}+$\frac{7}{2}$的顶点坐标为(0,$\frac{7}{2}$)，
∴球在空中的最大高度为$\frac{7}{2}$m。
(2)在y=-$\frac{1}{5}$x^{2}+$\frac{7}{2}$中，当y=3.05时，3.05=-$\frac{1}{5}$x^{2}+$\frac{7}{2}$，解得x=±1.5。
∵篮筐在第一象限，
∴篮筐中心的横坐标是1.5。当y=2.25时，2.25=-$\frac{1}{5}$x^{2}+$\frac{7}{2}$，解得x=±2.5。
∵运动员在第二象限，
∴运动员投篮位置的横坐标是-2.5。故该运动员距离篮筐中心的水平距离为1.5-(-2.5)=4(m)。

17. （12 分）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + x - m = 0 $。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 $ m $ 的取值范围；
（2）二次函数 $ y = x^2 + x - m $ 的部分图象如图所示，求一元二次方程 $ x^2 + x - m = 0 $ 的解。

答案： 17.解：
(1)由题知$\Delta=1+4m＞0$，
∴m＞-$\frac{1}{4}$。
(2)由题图知x^{2}+x-m=0的一个根为1，
∴1^{2}+1-m=0，
∴m=2，即一元二次方程为x^{2}+x-2=0，解得x_{1}=1，x_{2}=-2，
∴一元二次方程x^{2}+x-m=0的解为x_{1}=1，x_{2}=-2。

18. （13 分）已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 8(a \neq 0) $ 经过点 $ (-2,0) $。
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标。
（2）直线 $ l $ 交抛物线于点 $ A(-4,m) $，$ B(n,7) $，$ n $ 为正数。若点 $ P $ 在抛物线上且在直线 $ l $ 下方（不与点 $ A $，$ B $ 重合），分别求出点 $ P $ 横坐标与纵坐标的取值范围。

答案： 18.解：
(1)把(-2,0)代入$y=ax^{2}-2ax-8，$得4a+4a-8=0，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-2x-8，$配方得$y=(x-1)^{2}-9，$
∴顶点坐标为(1,-9)。
(2)当x=-4时，m=16，当y=7时，$n^{2}-2n-8=7，$解得n=5，$n_{2}=-3。$
∵n为正数，
∴n=5。
∵点P在抛物线上且在直线l的下方(不与点A,B重合)，
∴-4＜x_{p}＜5。
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，当x=1时函数有最小值-9，
∴当-4＜x_{p}≤1时，y随x的增大而减小，当1＜x_{p}＜5时，y随x的增大而增大，又当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，
∴$-9≤y_{p}＜16。$