《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

16. （10分）已知关于x的一元二次方程$x^{2} - 2\sqrt{2}x + m = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的最大整数值；
(2)若m取(1)中的最大整数值，方程的实数根是$x_{1}$，$x_{2}$，求代数式$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2}$的值.

答案： 16.解：
(1)由题意，得Δ＞0，即$(-2\sqrt{2})^{2}-4m＞0，$解得m＜2，
∴m的最大整数值为1.
(2)把m=1代入关于x的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{2}x+m=0$得$x^{2}-2\sqrt{2}x+1=0，$根据一元二次方程根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2\sqrt{2}，$$x_{1}x_{2}=1，$
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(2\sqrt{2})^{2}-3×1=5.$

17. （12分）2021年，某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售. 因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调价格后，2023年的均价为每平方米5265元.
(1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2024年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，那么张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）

答案： 17.解：
(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得
$6500(1-x)^{2}=5265，$
解得$x_{1}=0.1=10\%，$$x_{2}=1.9($不合题意，舍去).
答：平均每年下调的百分率为10\%.
(2)如果下调的百分率相同，那么2024年的房价为
5265×(1-10\%)=4738.5(元/平方米)，
则100平方米的住房的总房款为
100×4738.5=473850(元)，也就是47.385万元.
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现.

18. （14分）已知关于x的一元二次方程$(a + c)x^{2} + 2bx + (a - c) = 0$，其中a，b，c分别为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x = - 1$是方程的根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

答案： 18.解：
(1)△ABC是等腰三角形.理由：
∵x=-1是方程的根，
∴$(a+c)×(-1)^{2}-2b+(a-c)=0，$
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.
理由：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0，$
∴$4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0，$
∴$a^{2}=b^{2}+c^{2}，$
∴△ABC是直角三角形.
(3)
∵△ABC是等边三角形，
∴$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^{2}+2ax=0，$
即$x^{2}+x=0，$解得$x_{1}=0，$$x_{2}=-1.$