《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

8. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论正确的是(D)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ b ＜ 0 $
C.$ c ＜ 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

答案： 8.D

9. 将二次函数 $ y = x^2 + 4x - 2 $ 配方成 $ y = (x - h)^2 + k $ 的形式，则 $ y = $(x+2)²-6。

答案： 9.(x+2)²-6

10. 已知二次函数 $ y = ax^2 - ax + 3x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点，那么 $ a $ 的值为1或9。

答案： 10.1或9 解析：
∵二次函数y=ax²-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，
∴(-a+3)²-4a=0，
∴a²-6a+9-4a=0，解得a₁=1，a₂=9.

11. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 2bx + c $，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小，则实数 $ b $ 的取值范围是b≤1。

答案： 11.b≤1 解析：由题意知-$\frac{2b}{2×(-1)}$≤1，
∴b≤1.

12. 某种商品每件进价为 $ 20 $ 元，调查表明：在某段时间内，若以每件 $ x $ 元($ 20 \leq x \leq 30 $，且 $ x $ 为整数)出售，可卖出 $ (30 - x) $ 件。若使利润最大，则每件的售价应为25元。

答案： 12.25元 解析：设利润为w元，则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)²+25.
∵20＜x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值.

13. 已知当 $ x \leq 1 $ 时，二次函数 $ y = -(x - m)^2 + m^2 + 1 $ 有最大值 $ 4 $，则实数 $ m $ 的值为-$\sqrt{3}$或2。

答案： 13.-$\sqrt{3}$或2 解析：由题知二次函数图象的对称轴为直线x=m.①当m≤1时，二次函数在x=m处取得最大值，m²+1=4，解得m=±$\sqrt{3}$.
∵m=$\sqrt{3}$不满足m≤1，
∴m=-$\sqrt{3}$.②当m＞1时，二次函数在x=1处取得最大值，-(1-m)²+m²+1=4，解得m=2.综上所述，当m=-$\sqrt{3}$或2时，二次函数有最大值4.

14. （9 分）已知抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 经过点 $ A(3, 0) $、$ B(-1, 0) $。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标。

答案： 14.解：
(1)因为抛物线y=-x²+bx+c经过点A(3,0)、B(-1,0)，
$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0, \\-1 - b + c = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2, \\c = 3.\end{cases}$
故所求抛物线的解析式为y=-x²+2x+3.
(2)y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，
所以抛物线的顶点坐标为(1,4).

15. （10 分）如图，已知经过原点的抛物线 $ y = 2x^2 + mx $ 与 $ x $ 轴交于一点 $ A(2, 0) $。
（1）求 $ m $ 的值和抛物线顶点 $ M $ 的坐标；
（2）求直线 $ AM $ 的解析式。

答案： 15.解：
(1)
∵抛物线y=2x²+mx过点A(2,0)，
∴2×2²+2m=0，解得m=-4，
∴y=2x²-4x=2(x-1)²-2，
∴抛物线顶点M的坐标是(1,-2).
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将A(2,0)，M(1,-2)代入，
$\begin{cases}2k + b = 0, \\k + b = -2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 2, \\b = -4,\end{cases}$
∴直线AM的解析式为y=2x-4.