《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

17. （11 分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$。
（1）求证：无论 $k$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $k$ 与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求 $k$ 所有可能的值。

答案： 17.
(1)证明：$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$， $\because\Delta =[-(2k + 1)]^{2}-4×1×(k^{2}+k)=4k^{2}+4k + 1 - 4k^{2}-4k =1＞0$， $\therefore$无论$k$取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解：$\because x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$， $\therefore (x - k)(x - k - 1)=0$， $\therefore x - k = 0$或$x - k - 1 = 0$， $\therefore x_{1}=k$，$x_{2}=k + 1$或$x_{1}=k + 1$，$x_{2}=k$. 当$x_{1}=k$，$x_{2}=k + 1$时，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k}{k + 1}=1-\frac{1}{k + 1}$，$\because k$与$\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整 数，$\therefore k = 0$或$k = -2$； 当$x_{1}=k + 1$，$x_{2}=k$时，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k + 1}{k}=1+\frac{1}{k}$， $\because k$与$\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数，$\therefore k = 1$或$k = -1$. $\therefore k$所有可能的值为$0$，$-2$，$1$或$-1$.

18. （11 分）列方程（组）解应用题。
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克 $22$ 元；小李：当销售价为每千克 $38$ 元时，每天可售出 $160$ 千克；若每千克降低 $3$ 元，每天的销售量将增加 $120$ 千克。根据他们的对话，解决下面的问题：超市每天要获得销售利润 $3640$ 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元。

答案： 18.解：设这种水果每千克降价$x(x＞0)$元， 则每千克的利润为$(38 - 22 - x)$元，销售量为$(160 + 40x)$ 千克， 可列方程$(16 - x)(160 + 40x)=3640$，整理得，$x^{2}-12x + 27 =0$，$\therefore x = 3$或$x = 9$， $\because$要尽可能让顾客得到实惠，$\therefore x = 9$，即售价为$38 - 9 = 29$(元). 故这种水果的销售价为每千克29元.

19. (12 分)如图，某市近郊有一块长为 $60$ 米，宽为 $50$ 米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(一边长均为 $a$ 米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地。
(1)设通道的宽度为 $x$ 米，则 $a=$$\frac{60 - 3x}{2}$(用含 $x$ 的代数式表示)。
(2)若塑胶运动场地总占地面积为 $2430$ 平方米，则通道的宽度为多少米？

答案： 19.解：
(1)$\frac{60 - 3x}{2}$
(2)根据题意得$(50 - 2x)(60 - 3x)-x·\frac{60 - 3x}{2}=2430$， 解得$x_{1}=2$，$x_{2}=38$(不合题意，舍去). 答：通道的宽度为2米.