《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

9. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围是$k＞−\frac{9}{4}$.

答案： 9.$k＞−\frac{9}{4}$　解析:
∵关于$x$的方程$x²−3x−k = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$(−3)²+4k＞0$，解得$k＞−\frac{9}{4}$.

10. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ 的两根为 $ x_1,x_2 $，则 $ 2x_1 + 2x_2 + x_1 · x_2 = $$-7$.

答案： 10.$-7$　解析:
∵关于$x$的一元二次方程$x²+2x−3 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$，
∴$x_1+x_2 = −2$，$x_1 · x_2 = −3$，
∴原式$=2(x_1+x_2)+x_1 · x_2 = −4−3 = −7$.

11. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ A(-3,0) $、$ B(0,3) $、$ C(2,-5) $，则二次函数的解析式为$y = −x²−2x+3$.

答案： 11.$y = −x²−2x+3$

12. 已知点 $ P(a + 1,2a - 3) $ 关于原点的对称点在第三象限，则 $ a $ 的取值范围是$a＞\frac{3}{2}$.

答案： 12.$a＞\frac{3}{2}$　解析:
∵点$P(a + 1,2a−3)$关于原点的对称点在第三象限，
∴点$P$在第一象限，
∴$\begin{cases}a + 1＞0 \\ 2a−3＞0\end{cases}$，解得$a＞\frac{3}{2}$.

13. 如图，已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $，$ (1,-2) $，当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时，$ x $ 的取值范围是$x＞\frac{1}{2}$.

答案： 13.$x＞\frac{1}{2}$

14. （10分）解方程：
（1）$ x^2 + 6x - 11 = 0 $.
（2）$ x^2 - 12x - 4 = 0 $.

答案： 14.解:
(1)$x²+6x−11 = 0$，配方，得$(x + 3)² = 20$，开平方，得$x + 3 = ±2\sqrt{5}$，
∴$x_1 = −3+2\sqrt{5}$，$x_2 = −3−2\sqrt{5}$.
(2)
∵$a = 1$，$b = −12$，$c = −4$，
∴$b²−4ac = (−12)²−4×1×(−4)=160＞0$，
∴$x=\frac{12 ±\sqrt{160}}{2}=\frac{12 ±4\sqrt{10}}{2}=6 ±2\sqrt{10}$，
∴$x_1 = 6+2\sqrt{10}$，$x_2 = 6−2\sqrt{10}$

15. （10分）已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + ax + a - 2 = 0 $.
（1）当该方程的一个根为 1 时，求 $ a $ 的值及该方程的另一个根.
（2）求证：不论 $ a $ 取何值，该方程都有两个不相等的实数根.

答案： 15.
(1)解:将$x = 1$代入方程$x²+ax+a−2 = 0$，得$1+a+a−2 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$.
∴原方程为$x²+\frac{1}{2}x−\frac{3}{2}=0$，设另一根为$x_1$，则$1 · x_1 = -\frac{3}{2}$，
∴$x_1 = -\frac{3}{2}$，即另一根为$-\frac{3}{2}$.
(2)证明:
∵$\Delta = a²−4(a−2)=a²−4a + 8=(a−2)²+4＞0$，
∴不论$a$取何值，该方程都有两个不相等的实数根.