《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

18. （13 分）如图，A，B 是⊙O 上两点，且 $AB = OA$，连接 OB 并延长到点 C，使 $BC = OB$，连接 AC。
（1）求证：AC 是⊙O 的切线。
（2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线交⊙O 于点 F，G，$OA = 4$，求 GF 的长。

答案： 18.
(1)证明:
∵AB = OA，OA = OB，
∴AB = OA = OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAB = 60°，∠OBA = 60°，
∵BC = OB，
∴BC = AB，
∴∠C = ∠CAB，
又
∵∠OBA = 60° = ∠C + ∠CAB，
∴∠C = ∠CAB = 30°，
∴∠OAC = ∠OAB + ∠CAB = 90°，
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:
∵OA = 4，
∴OB = AB = BC = 4，
∴OC = 8，
∴AC = $\sqrt{OC^{2} - OA^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} - 4^{2}}$ = 4$\sqrt{3}$，
∵D，E分别为AC，OA的中点，
∴DE//BC，DC = 2$\sqrt{3}$，
过点O作OM⊥DF于点M，DN⊥OC于点N，则四边形OMDN为矩形，
∴DN = OM，
在Rt△CDN中，∠C = 30°，
∴DN = $\frac{1}{2}$DC = $\sqrt{3}$，
∴OM = $\sqrt{3}$，
连接OG，
∵OM⊥GF，
∴GF = 2MG = 2$\sqrt{OG^{2} - OM^{2}}$ = 2$\sqrt{4^{2} - (\sqrt{3})^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$

19. （13 分）如图，AD 为$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD\perp BC$，垂足为点 F，$\angle ABC$的平分线交 AD 于点 E，连接 BD，CD。
（1）求证：$BD = CD$。
（2）B，E，C 三点是否在以点 D 为圆心，DB 长为半径的圆上？说明理由。

答案：
19.
(1)证明:
∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得BD = CD，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得$\overset{\frown}{BD}$ = $\overset{\frown}{CD}$.

(2)解:B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上.
理由:由
(1)知BD = CD，
∴∠1 = ∠2.
又
∵∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠3.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4 = ∠5.
∵∠DBE = ∠3 + ∠4，∠DEB = ∠1 + ∠5.
∴∠DBE = ∠DEB，
∴DB = DE；
由
(1)知BD = CD，
∴DB = DE = DC，
∴B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上.

20. (15 分)如图①，②，③，…，⑩，点 M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDEFG…的边 AB，BC 上的点，且 $BM = CN$，连接 OM，ON。
(1)求图①中$\angle MON$的度数。
(2)图②中$\angle MON$的度数是90°，图③中$\angle MON$的度数是72°。
(3)试探究$\angle MON$的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案)。

答案：
20.解:
(1)分别连接OB，OC，如图①.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB.
∵OC = OB，点O是正三角形ABC的外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB，
∴∠OBC = ∠OCB = 30°，
∴∠OBM = ∠OCN = 30°.
∵BM = CN，OB = OC，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM = ∠NOC.
∵∠BAC = 60°，
∴∠BOC = 120°.
∴∠MON = ∠BOC = 120°.
(2)同
(1)可得图②中∠MON的度数是90°，图③中∠MON的度数是72°.

(3)在图①中，∠MON = $\frac{360°}{3}$ = 120°；在图②中，∠MON = $\frac{360°}{4}$ = 90°；在图③中∠MON = $\frac{360°}{5}$ = 72°；
∴当⊙O内是正n边形时，∠MON = $\frac{360°}{n}$.