《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

20. (12 分)如图，用同样规格的黑、灰两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题。
(1)在第 $n$ 个图形中，共有瓷砖$(n^{2}+5n + 6)$块，其中灰色瓷砖$(n^{2}+n)$块，黑色瓷砖$(4n + 6)$块(均用含 $n$ 的代数式表示)。
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 $506$ 块瓷砖，求此时 $n$ 的值。
(3)黑瓷砖每块 $4$ 元，灰瓷砖每块 $3$ 元，则问题(2)中，共花多少元购买瓷砖？

答案： 20.解：
(1)$(n^{2}+5n + 6)$ $(n^{2}+n)$ $(4n + 6)$
(2)由题意得$n^{2}+5n + 6 = 506$， 解得$n = 20$或$n = -25$(不合题意，舍去).
(3)灰瓷砖块数是$n^{2}+n = 20^{2}+20 = 420$， 黑瓷砖块数是$506 - 420 = 86$， 则共需$86×4 + 420×3 = 1604$(元). 答：共花1604元钱购买瓷砖.

21. (14 分)阅读材料：
用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程。例如，一元三次方程 $x^{3}+x^{2}-2x = 0$，可以通过因式分解把它转化为 $x(x^{2}+x - 2)=0$，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2}+x - 2 = 0$，可得方程 $x^{3}+x^{2}-2x = 0$ 的解。
(1)问题：方程 $x^{3}+x^{2}-2x = 0$ 的解是 $x_{1}=0$，$x_{2}=$$-2$，$x_{3}=$$1$。
(2)拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2x + 3}=x$ 的解。
(3)应用：如图，已知矩形草坪 $ABCD$ 的长 $AD = 8$ m，宽 $AB = 3$ m，小华把一根长为 $10$ m 的绳子的一端固定在点 $B$，沿草坪边 $BA$，$AP$ 走到点 $P$ 处，把长绳 $PB$ 段拉直并固定在点 $P$，然后沿草坪边 $PD$，$DC$ 走到点 $C$ 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ 处。求 $AP$ 的长。

答案： 21.解：
(1)$\because x^{3}+x^{2}-2x = 0$，$x(x^{2}+x - 2)=0$， $x(x + 2)(x - 1)=0$，$\therefore x = 0$或$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$， $\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=1$.故答案为$-2$，$1$.
(2)方程的两边平方，得$2x + 3 = x^{2}$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$， $\therefore (x - 3)(x + 1)=0$，$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$， $\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$， 当$x = -1$时，$\sqrt{2x + 3}=\sqrt{1}=1\neq -1$，$\therefore -1$不是原方程 的解， $\therefore$方程$\sqrt{2x + 3}=x$的解是$x = 3$.
(3)设$AP = x$m，则$PD=(8 - x)$m，$\because$四边形$ABCD$是矩形， $\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = CD = 3$m. $\because BP + CP = 10$m，$BP=\sqrt{AB^{2}+AP^{2}}$，$CP=\sqrt{PD^{2}+CD^{2}}$， $\therefore\sqrt{9 + x^{2}}+\sqrt{(8 - x)^{2}+9}=10$， $\therefore\sqrt{(8 - x)^{2}+9}=10-\sqrt{9 + x^{2}}$， 两边平方，得$(8 - x)^{2}+9 = 100 - 20\sqrt{9 + x^{2}}+9 + x^{2}$. 整理，得$5\sqrt{x^{2}+9}=4x + 9$， 两边平方并整理，得$x^{2}-8x + 16 = 0$， 即$(x - 4)^{2}=0$，$\therefore x = 4$.经检验，$x = 4$是方程的解. 答：$AP$的长为4m.