《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

19. (14分)问题：已知方程$x^{2} + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则$y = 2x$，所以$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程，得$(\frac{y}{2})^{2} + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简，得$y^{2} + 2y - 4 = 0$.
故所求方程为$y^{2} + 2y - 4 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请利用材料提供的“换根法”求新方程.(要求：把所求方程化成一般形式)
(1)已知方程$x^{2} + x - 2 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为y2-y-2=0；
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： 19.解：
(1)设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.把x=-y代入已知方程，得$y^{2}-y-2=0，$故所求方程为$y^{2}-y-2=0.$
(2)设所求方程的根为y，则$y=\frac{1}{x}(x≠0)，$于是$x=\frac{1}{y}(y≠0).$
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}+bx+c=0，$得$a·(\frac{1}{y})^{2}+b·\frac{1}{y}+c=0，$
去分母，得$a+by+cy^{2}=0.$
若c=0，则$ax^{2}+bx=0，$可得方程有一个解为x=0，不符合题意，
所以c≠0，
所以所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0).$

20. （16分）已知$x_{1}$，$x_{2}$是关于x的一元二次方程$(a - 6)x^{2} + 2ax + a = 0$的两个实数根.
(1)求a的取值范围；
(2)求使代数式$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1)$的值为负整数的实数a的整数值；
(3)如果实数a，b满足$b = \sqrt{a - 5} + \sqrt{10 - 2a} + 50$，试求代数式$x_{1}^{3} + 10x_{2}^{2} + 5x_{2} - b$的值.

答案： 20.解：
(1)
∵关于x的一元二次方程$(a-6)x^{2}+2ax+a=0$有两个实数根，
∴$\begin{cases}a-6≠0,\\Δ=(2a)^{2}-4a(a-6)≥0,\end{cases}$
解得a≥0且a≠6.
(2)
∵$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$(a-6)x^{2}+2ax+a=0$的两个实数根，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{2a}{a-6}，$$x_{1}x_{2}=\frac{a}{a-6}.$
∴$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+1=-\frac{a}{a-6}+1=\frac{6}{6-a}，$
∵$\frac{6}{6-a}$为负整数，
∴6-a=-1，-2，-3或-6，
∴a=7,8,9或12.
(3)
∵$b=\sqrt{a-5}+\sqrt{10-2a}+50，$
∴a=5,b=50，
∴原方程为$-x^{2}+10x+5=0，$
∴$x_{1}+x_{2}=10，$$x_{1}x_{2}=-5，$$x_{1}^{2}=10x_{1}+5，$
∴原式$=x_{1}^{2}·x_{1}+10x_{1}^{2}+5x_{2}-50$
$=(10x_{1}+5)·x_{1}+10x_{1}^{2}+5x_{2}-50$
$=10(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+5(x_{1}+x_{2})-50$
$=10(x_{1}+x_{2})^{2}-20x_{1}x_{2}+5(x_{1}+x_{2})-50$
$=10×10^{2}-20×(-5)+5×10-50$
=1100.