《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

23. （11分）如图①，在面积为$S$的$\triangle ABC$中，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，内切圆$O$的半径为$r$，连接$OA$，$OB$，$OC$，$\triangle ABC$被划分为三个小三角形。
$\because S = S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r+\frac{1}{2}AB· r=\frac{ar + br + cr}{2}=\frac{(a + b + c)r}{2}$。
$\therefore r=\frac{2S}{a + b + c}$。
（1）如图②，若面积为$S$的四边形$ABCD$存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为$AB = a$，$BC = b$，$CD = c$，$AD = d$，求四边形的内切圆半径$r$。
（2）如图③，在$Rt\triangle ABC$中，内切圆$\odot O$的半径为$r$，$\odot O$与$\triangle ABC$各边分别相切于点$D$、$E$和$F$，已知$AD = 3$，$BD = 2$，求$r$的值。

答案： 23.解:
(1)连接OA,OB,OC,OD.
∵S=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△AOD}=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$dr=$\frac{1}{2}$(a+b+c+d)r,
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$.
(2)连接OE、OF,则四边形OECF是正方形，
则OE=EC=CF=FO=r.
在Rt△ABC中,AC² + BC² = AB²，
即(3+r)²+(2+r)²=5²,
化简得r²+5r−6=0,解得r=1(负值舍去).