《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

17. （14 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ OABC $ 的顶点 $ A $，$ C $ 分别在 $ x $ 轴，$ y $ 轴上，函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的图象过点 $ P(4,3) $ 和矩形的顶点 $ B(m,n)(0＜m＜4) $。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）连接 $ PA $，$ PB $，若 $ \triangle ABP $ 的面积为 6，求直线 $ BP $ 的解析式。

答案： 17.解:
(1)$\because$函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$P(4,3)$，$\therefore k = 4×3 = 12$。
(2)$\because$函数$y=\frac{12}{x}$的图象过点$B(m,n)$，
$\therefore mn = 12$。
$\because \triangle ABP$的面积为6，$P(4,3)$，$0＜m＜4$，
$\therefore \frac{1}{2}n×(4 - m)=6$，即$2n-\frac{1}{2}mn = 6$，
$\therefore 2n - 6 = 6$，解得$n = 6$，
$\therefore m = 2$，$\therefore$点B的坐标为$(2,6)$。
设直线BP的解析式为$y = ax + b$，
把$B(2,6)$，$P(4,3)$分别代入，
得$\begin{cases}2a + b = 6\\4a + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{2}\\b = 9\end{cases}$
$\therefore$直线BP的解析式为$y=-\frac{3}{2}x + 9$。

18. （16 分）如图，一次函数 $ y = k_1x + b(k_1\neq0) $ 与反比例函数 $ y=\frac{k_2}{x}(k_2\neq0) $ 的图象交于点 $ A(2,3) $，$ B(a,-1) $。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点 $ P(-2,1) $ 是否在一次函数 $ y = k_1x + b $ 的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式 $ k_1x + b\geq\frac{k_2}{x} $ 的解集。

答案：
18.解:
(1)$\because$点$A(2,3)$在反比例函数图象上，
$\therefore 3=\frac{k_2}{2}$，$\therefore k_2 = 6$，
$\therefore$反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，
又$\because$点$B(a,-1)$在反比例函数图象上，
$\therefore a×(-1)=6$，解得$a=-6$，
$\therefore$点B的坐标为$(-6,-1)$，
又$\because$点$A(2,3)$与点$B(-6,-1)$都在一次函数$y = k_1x + b$的图象上，$\therefore\begin{cases}3 = 2k_1 + b\\-1=-6k_1 + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 2$。
(2)点$P$在一次函数图象上。
理由:当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)+2 = 1$，
$\therefore$点$P$在一次函数的图象上。
(3)如图所示，当$-6\leq x＜0$或$x\geq2$时，$k_1x + b\geq\frac{k_2}{x}$。

19. （16 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ OABC $ 的顶点 $ O $ 与坐标原点重合，顶点 $ A $、$ C $ 在坐标轴上，顶点 $ B $ 的坐标为 $ (4,2) $，过点 $ D(0,3) $ 和 $ E(6,0) $ 的直线 $ DE $ 分别与 $ AB $、$ BC $ 交于点 $ M $、$ N $。
（1）求直线 $ DE $ 的解析式和点 $ M $ 的坐标；
（2）若反比例函数 $ y=\frac{m}{x}(x＞0) $ 的图象经过点 $ M $，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 $ N $ 是否在该函数的图象上。

答案： 19.解:
(1)设直线DE的解析式为$y = kx + b$。
$\because$点D、E的坐标分别为$(0,3)$，$(6,0)$，
$\therefore\begin{cases}b = 3\\6k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b = 3\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{1}{2}x + 3$，
$\because$点$M$在AB边上，$B(4,2)$，
$\therefore$点$M$的纵坐标为2。
又$\because$点$M$在直线$y=-\frac{1}{2}x + 3$上，$\therefore2=-\frac{1}{2}x + 3$，
$\therefore x = 2$，$\therefore M(2,2)$。
(2)$\because$反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象经过$M(2,2)$，
$\therefore m = 4$，$\therefore y=\frac{4}{x}$。
$\because$点$N$在$BC$边上，$B(4,2)$，$\therefore$点$N$的横坐标为4。
$\because$点$N$在直线$y=-\frac{1}{2}x + 3$上，$\therefore y = 1$，$\therefore N(4,1)$。
当$x = 4$时，$y=\frac{4}{x}=1$，
$\therefore$点$N$在函数$y=\frac{4}{x}$的图象上。