《2025年新目标检测同步单元测试卷九年级数学上册人教版》

1. 已知 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ \angle A,\angle B,\angle C $ 所对的边，若 $ a:b:c = 5:12:13 $，则 $ \tan A $ 的值为(B)

A.$ \frac{12}{5} $
B.$ \frac{5}{12} $
C.$ \frac{5}{13} $
D.$ \frac{12}{13} $

答案： 1.B　

2. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，则代数式 $ \sin^{2}A + \sin^{2}B - \tan A · \tan B $ 的值为(A)

A.0
B.1
C.2
D.不能确定

答案： 2.A

3. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $、$ \angle B $ 满足 $ |1 - \tan A| + (\sqrt{2} - 2\cos B)^{2} = 0 $，则该三角形的形状为(C)

A.锐角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形

答案： 3.C 解析：$\because |1 - \tan A| + (\sqrt{2} - 2\cos B)^2 = 0$, $\therefore 1 - \tan A = 0$ 且$\sqrt{2} - 2\cos B = 0$, $\therefore \tan A = 1$, $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\therefore \angle A = \angle B = 45^\circ$, $\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形. 

4. 如图，以点 $ O $ 为圆心的两个圆中，大圆的弦 $ AB $ 切小圆于点 $ C $，$ OA $ 交小圆于点 $ D $。若 $ OD = 2 $，$ \tan \angle OAB = \frac{1}{2} $，则 $ AB $ 的长是(C)

A.4
B.$ 2\sqrt{3} $
C.8
D.$ 4\sqrt{3} $

答案： 4.C　解析:连接OC.
∵AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB,
∴∠ACO=90°,
∴AB=2AC;
　在Rt△AOC中，
∵tan∠OAB=$\frac{1}{2}$=$\frac{OC}{AC}$,OC=OD=2,
∴AC=2OC=4,
∴AB=2AC=8.

5. 如图，将 $ \angle AOB $ 放在边长为 1 的小正方形组成的网格中，则 $ \angle AOB $ 的正弦值为(A)

A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
C.2
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 5.A

6. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AD \perp BC $ 于点 $ D $，则下列结论不正确的是(C)

A.$ \sin B = \frac{AD}{AB} $
B.$ \sin B = \frac{AC}{BC} $
C.$ \sin B = \frac{AD}{AC} $
D.$ \sin B = \frac{CD}{AC} $

答案： 6.C

7. 轮船在 $ B $ 处观测灯塔 $ A $ 位于南偏东 $ 75^{\circ} $ 方向上，轮船从 $ B $ 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 $ 30^{\circ} $ 方向匀速航行，航行半小时到达 $ C $ 处，在 $ C $ 处观测灯塔 $ A $ 位于北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上，则 $ C $ 处与灯塔 $ A $ 的距离是(D)

A.$ 25\sqrt{3} $ 海里
B.$ 25\sqrt{2} $ 海里
C.50 海里
D.25 海里

答案：
7.D 解析：根据题意知$\angle 1 = 30^\circ$. $\because \angle ACD = 60^\circ$, $\therefore \angle ACB = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. $\because \angle CBA = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$, $\therefore \triangle ABC$为等腰直角三角形. $\because BC = 50 \times 0.5 = 25$(海里), $\therefore AC = BC = 25$海里.