《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

18. 阅读材料,在平面直角坐标系中,已知点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$。
设$d_1 = |x_1 - x_2|$,$d_2 = |y_1 - y_2|$,$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^3}$,则称$d_1为A$,$B$两点的水平宽,$d_2为A$,$B$两点的铅锤高,$d为A$,$B$两点之间的距离。
(1) 已知两点$A(-2,3)$,$B(4,-5)$,则$d_1 = $6,$d_2 = $8,$d = $10。
(2) 已知点$A(12,23)$,$B(a,b)$,若$d_1 = d = 8$,则$a + 2b = $50或66。
(3) 在平面直角坐标系中,已知点$A(0,2)$,$B(4,1)$,$P为x$轴上任意一点,求$PA + PB$的最小值。
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(4) 直接写出代数式$\sqrt{m^2 + (n - 2)^2} + \sqrt{(m - 4)^2 + (n - 1)^2}$的最小值。
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答案： 1. （1）
已知$A(-2,3)$，$B(4,-5)$：
根据$d_1 = |x_1 - x_2|$，可得$d_1=|-2 - 4| = 6$；
根据$d_2 = |y_1 - y_2|$，可得$d_2=|3-(-5)| = 8$；
根据$d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}$，可得$d=\sqrt{(-2 - 4)^2+(3 + 5)^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
2. （2）
已知$A(12,23)$，$B(a,b)$，$d_1 = |12 - a| = 8$，则$12 - a=\pm8$。
当$12 - a = 8$时，$a = 4$；当$12 - a=-8$时，$a = 20$。
又因为$d=\sqrt{(12 - a)^2+(23 - b)^2}=8$，把$a = 4$代入$\sqrt{(12 - a)^2+(23 - b)^2}=8$，即$\sqrt{(12 - 4)^2+(23 - b)^2}=8$，$64+(23 - b)^2 = 64$，则$b = 23$；把$a = 20$代入$\sqrt{(12 - a)^2+(23 - b)^2}=8$，即$\sqrt{(12 - 20)^2+(23 - b)^2}=8$，$64+(23 - b)^2 = 64$，则$b = 23$。
当$a = 4$，$b = 23$时，$a + 2b=4+2×23=4 + 46 = 50$；当$a = 20$，$b = 23$时，$a + 2b=20+2×23=20 + 46 = 66$。
3. （3）
作点$A(0,2)$关于$x$轴的对称点$A'(0,-2)$。
根据两点之间线段最短，$PA+PB = PA'+PB$，则$PA'+PB\geqslant A'B$。
已知$A'(0,-2)$，$B(4,1)$，根据$d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}$，可得$A'B=\sqrt{(0 - 4)^2+(-2 - 1)^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
所以$PA + PB$的最小值为$5$。
4. （4）
代数式$\sqrt{m^2+(n - 2)^2}+\sqrt{(m - 4)^2+(n - 1)^2}$表示点$P(m,n)$到点$A(0,2)$和点$B(4,1)$的距离之和。
由（3）可知，其最小值为$5$。
综上，答案依次为：（1）$6$，$8$，$10$；（2）$50$或$66$；（3）$5$；（4）$5$。