《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

1. 如图,AB = A'B',∠A = ∠A'。要使△ABC ≌ △A'B'C',需添加一个条件,添法有(C)。

A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

答案： C

2. 如图,点P在∠AOB的平分线上,不添加辅助线,要使△AOP ≌ △BOP,根据“SAS”,需添加的一个条件是OA=OB；根据“ASA”,需添加的一个条件是∠APO=∠BPO；根据“AAS”,需添加的一个条件是∠OAP=∠OBP。

答案： OA=OB ∠APO=∠BPO ∠APO=∠BPB或∠OAP=∠OBP

3. 如图,在△ABC中,∠B = ∠C,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD = CE,∠DEF = ∠B。求证：ED = EF。(填空)
证明：
因为∠DEC = ∠B + ∠BDE(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和或三角形外角的性质),
∠DEC = ∠DEF + ∠FEC,
∠DEF = ∠B(已知),
所以∠BDE = ∠FEC(等式性质)。
在△EBD与△FCE中,
因为{∠BDE = ∠FEC(已证),
BD = CE(已知),
∠B = ∠C(已知),
所以△EBD ≌ △FCE(ASA)。
所以ED = FE(全等三角形的对应边相等)。

答案： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和或三角形外角的性质 BDE FEC BDE FEC BD CE ASA 全等三角形的对应边相等

4. 如图,∠BAD = ∠CAE,∠B = ∠D,且AC = AE。求证：AB = AD。

答案： 提示:利用“AAS”证△ABC≌△ADE

5. 如图,已知AE = CF,AD // BC,DE ⊥ AC于点E,BF ⊥ AC于点F。
(1) 求证：DE = BF。
(2) 连结DF,BE,猜想DF与BE之间的数量关系和位置关系,并给予证明。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD// BC$，所以$\angle DAE=\angle BCF$。
又因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle AED = \angle CFB=90^{\circ}$。
已知$AE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中：
$\begin{cases}\angle DAE=\angle BCF\\\angle AED=\angle CFB\\AE = CF\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
由全等三角形的对应边相等，所以$DE = BF$。
2. （2）猜想：$DF = BE$且$DF// BE$。
证明：
因为$AE = CF$，所以$AE + EF=CF + EF$，即$AF = CE$。
又因为$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$，$BF = DE$（已证）。
在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中：
$\begin{cases}AF = CE\\\angle AFB=\angle CED\\BF = DE\end{cases}$
根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABF\cong\triangle CDE$。
所以$AB = CD$，$\angle BAF=\angle DCE$，则$AB// CD$。
所以四边形$BEDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
所以$DF = BE$且$DF// BE$。
综上，（1）得证$DE = BF$；（2）$DF = BE$且$DF// BE$。