《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

15. 为了提高学生保护环境的意识,某校学生会利用课余时间,组织七、八年级共 $ 50 $ 名学生参加环保活动,七年级学生平均每人收集 $ 10 $ 个废弃塑料瓶,八年级学生平均每人收集 $ 20 $ 个废弃塑料瓶。若收集的塑料瓶总数不少于 $ 800 $ 个,则至少有多少名八年级学生参加了活动？

答案： 设有x名八年级学生参加活动,得10(50-x)+20x≥800,解得x≥30,即至少有30名八年级学生参加活动

16. 已知非负数 $ a $,$ b $,$ c $ 满足关系式 $ a + b = 7 $,$ c - a = 5 $。设代数式 $ a + b + c $ 的最大值为 $ m $,最小值为 $ n $,求 $ m - n $ 的值。

答案： 7

17. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 3x + m ＜ 0, \\ x ＞ -5 \end{cases} $ 的所有整数解的和为 $ -9 $,求 $ m $ 的取值范围。

答案： 解原不等式组得-5＜x＜-$\frac{m}{3}$;分两种情况:①当不等式组的整数解为-4,-3,-2时,有-2＜-$\frac{m}{3}$≤-1,可得3≤m＜6;②当不等式组的整数解为-4,-3,-2,-1,0,1时,有1＜-$\frac{m}{3}$≤2,可得-6≤m＜-3。所以m的取值范围为-6≤m＜-3或3≤m＜6

18. (1)如果 $ x - y = 0 $,那么 $ x $ = $ y $；如果 $ x - y ＞ 0 $,那么 $ x $ ＞ $ y $；如果 $ x - y ＜ 0 $,那么 $ x $ ＜ $ y $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
请用上述方法尝试比较 $ a^2 - 5a + 4 $ 与 $ \dfrac{1}{2}(8 - 10a) $ 的大小。
$a^2-5a+4≥\frac{1}{2}(8-10a)$
(2)对于任意实数 $ a $,$ b $,定义运算 $ @ $ 如下：$ a@b = 2a - b $。例如：$ 5@3 = 10 - 3 = 7 $,$ (-3)@5 = -6 - 5 = -11 $。
① 关于 $ x $ 的方程 $ 2(2x - 1) = x + 1 $ 的解满足不等式 $ (x - 1)@(a - 1) ＜ 5 $,求 $ a $ 的取值范围。
a＞-4
② 若不等式 $ (x - 1)@(a - 1) ＜ 5 $ 的自然数解有 $ 5 $ 个,求 $ a $ 的取值范围。
2＜a≤4
③ 若不等式组 $ \begin{cases} (x - 1)@(a - 1) ＜ 5, \\ (a - 1)@(x - 1) ＞ -3 \end{cases} $ 的解为 $ x ＜ 8 $,求 $ a $ 的值。
10
④ 若无论 $ x $ 取何值,不等式 $ (x - 1)@(a - 1) \geq \left( -\dfrac{1}{4} - x^2 \right)@(1 - a) $ 一定成立,求 $ a $ 的取值范围。
a≤0

答案：
(1)= ＞ ＜ $a^2-5a+4≥\frac{1}{2}(8-10a)$
(2)①a＞-4 ②2＜a≤4 ③10 ④a≤0